Komplexe Konjugation

Konjugation bei Körpererweiterungen

Die zur komplexen Zahl $a-i\cdot b$ konjugierte Zahl ist $a+i\cdot b$. Sie hat also denselben Realteil, aber den negativen Imaginärteil. Z.B. ist $2-4i$ die zu $2+4i$ konjugierte Zahl, und die Konjugierte von $-1-i$ ist $-1+i$.

Die Abbildung $a+i\cdot b\mapsto a-i\cdot b$ heißt komplexe Konjugation. Die Konjugation ist mit der Addition und Multiplikation verträglich, d.h. es ist egal, ob man erst addiert (multipliziert) und dann konjugiert oder umgekehrt. Mit Hilfe der Konjugation lässt sich leicht eine Formel für die Division komplexer Zahlen angeben: Indem man den Quotienten zweier komplexer Zahlen mit dem Konjugierten des Nenners erweitert, macht man ihn reell:

${\frac {a+ib}{c+id}}={\frac {(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)}}={\frac {(ac+bd)+i(bc-ad)}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {(ac+bd)}{c^{2}+d^{2}}}+i{\frac {(bc-ad)}{c^{2}+d^{2}}}$

In der Algebra wird dieser Begriff folgendermaßen erweitert:

Zwei über $K$ algebraische Elemente einer Körpererweiterung $E/K$ heißen zueinander konjugiert, wenn sie dasselbe Minimalpolynom über $K$ haben. Die Nullstellen des Minimalpolynoms von $a$ heißen Konjugierte von $a$.

Konjugation bei Gruppen

In einer Gruppe heissen die Elemente $a$ und $b$ zueinander konjugiert, wenn es ein Gruppenelement $c$ gibt, so dass $b=c^{-1}ac$ ist. Die Abbildung $a\mapsto c^{-1}ac$ heisst "Konjugation mit $c$". Sie ist ein Automorphismus der Gruppe.