Euklid

Fantasieporträt der frühen Neuzeit

Euklid von Alexandria (griechisch Ευκλείδης Eukleides; lateinisch Euclidus; * ca. 365 v. Chr. vermutlich in Alexandria oder Athen; † ca. 300 v. Chr.) war ein griechischer Mathematiker.

Sein berühmtestes Werk „Die Elemente“ (griechisch Stoicheia; vermutlich um 325 v. Chr. entstanden) ist ein Buch, in dem er die Eigenschaften geometrischer Objekte, der natürlichen Zahlen und der Größen aus einer Menge von Axiomen (=Elementaraussagen) herleitete und das mathematische Wissen seiner Zeit zusammentrug. Mit seiner axiomatische Methode wurde er zum Vorbild für die gesamte spätere Mathematik. Viele der Resultate, die Euklid in den „Elementen“ präsentiert, stammen von früheren Mathematikern - eine seiner Leistungen besteht aber eben auch darin, dass er sie sammelte und in einer einheitlichen Form darstellte.

Leben

Seine Herkunft ist unbekannt. Möglicherweise war er ein Schüler der Platonischen Akademie, später lehrte er am Museion in Alexandria.

Historische Nachrichten zu seiner Person gibt es nur wenige; so ist im 19. Jahrhundert sogar die These vertreten worden, dass die „Elemente“ nicht von einer Person mit dem Namen Euklid stamme, sondern von einem Expertenkreis kompiliert worden sei. Allerdings wird diese Auffassung heute kaum mehr vertreten.

Geometrie - Arithmetik -Größenlehre

Die „Elemente“ waren vielerorts bis ins 20. Jahrhundert hinein Grundlage des Geometrieunterrichts, vor allem im angelsächsischen Raum.

Mittelalterliches Portrait Euklids

Neben der pythagoreischen Geometrie enthalten Euklids „Elemente“ auch in Buch VII-IX die pythagoreische Arithmetik, die Anfänge der Zahlentheorie, die bereits Archytas kannte, darin die Konzepte der Teilbarkeit und des größten gemeinsamen Teilers, sowie auch einen Algorithmus, um ihn zu bestimmen, den euklidischen Algorithmus. Euklid bewies auch, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Auf der Arithmetik baut Euklids Musiktheorie auf mit genialen Originalbeiträgen Euklids zur Irrationaltät von Zahlenverhältnissen (s.u.). Ferner enthält das Buch V die Größenlehre des Eudoxos, eine Verallgemeinerung der Zahlentheorie auf positive reelle Größen.

Das bekannte fünfte Postulat der ebenen Euklidischen Geometrie, das Parallelenaxiom, fordert, dass für jede beliebige Gerade und für jeden beliebigen Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt, eine eindeutige Gerade existiert, die durch diesen Punkt geht und die erste Gerade nicht schneidet.

Für die Wissenschaftsgeschichte ist die Beschäftigung mit dem Parallelenaxiom von großer Bedeutung, weil sie viel zur Präzisierung mathematischer Begriffe und Beweisverfahren beigetragen hat. Im Zuge dessen wurden im 19. Jahrhundert auch die Lücken im Euklidischen Axiomensystem offenkundig. Eine Neufassung der Axiomatik der Euklidischen Geometrie findet sich in David Hilberts Werk „Grundlagen der Geometrie“ (1899).

Musiktheorie

In Euklids musiktheoretischer Schrift Teilung des Kanons, die als authentisch gelten darf, griff er die Musiktheorie des Archytas auf und verbesserte sie wohl aufgrund der Kritik des Aristoxenos, indem er sie auf eine solidere akustische Basis stellte, nämlich auf Frequenzen von Schwingungen (er sprach von Häufigkeit der Bewegungen). Er verallgemeinerte dabei den Satz des Archytas über die Irrationalität der Quadratwurzel aus dem Zahlenverhältnis $(n+1):n$ und bewies ganz allgemein die Irrationaltität der n-ten Wurzel aus $(n+1):n$. Der Grund für diese geniale Verallgemeinerung ist seine Antithese gegen die Harmonik des Aristoxenos, die auf Vielfachen des Tons (Halbton, Drittelton, Viertelton, n-tel-Ton) aufbaut. Im pythagoreischen Tonsystem hat der Ton (Ganzton) die Proportion (9:8), was Euklid zu seinem antithetischen Satz "Der Ton ist weder in zwei noch in mehrere gleiche Teile teilbar" veranlasste. Diese Antithese setzt allerdings rationale Ton-Größen voraus, die in der pythagoreischen Harmonik bis etwa 1600 angenommen wurden. Euklids Teilung des Kanons enthalten außerdem weitere anti-aristoxeneischer Sätze, darunter die erste Berechnung des pythagoreischen Kommas, ferner - wie der Titel signalisiert - die ältetste überlieferte Darstellung eines Tonsystems am Kanon, einer geteilten Saite, und zwar einer pythagoreischen Version eines diationischen vollständigen Tonsystems im Sinn des Aristoxenos.

Weitere erhaltene Schriften sind: "Dedomena" (Algebra), "Optika", "Über die Teilung der Figuren"(auszugsweise erhalten in einer arabischen Übersetzung). Von weiteren Werken sind nur die Titel bekannt: U.a. "Pseudaria" (Trugschlüsse), "Katoptrika" und "Phainomena" (Astronomie).

Werke (Auswahl)

• Euklid: Die Elemente. Bücher I-XIII. Hrsg. u. übs. v. Clemens Thaer. Frankfurt a.M.: Harri Deutsch, 4. Aufl. 2003. (= Ostwalds Klass. d. exakten Wiss. 235.) (die Übersetzung erschien zuerst 1933-1937) ISBN 3-8171-3413-4
• Euklid: Die Teilung des Kanons (sectio canonis), ed. H. Menge in: Euclidis opera omnia, Band (, Leipzig 1916, 158-183

Literatur

• Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Geschichte, Kulturen, Menschen, Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-22471-8 (S.49-65) - Die Elemente Euklids und andere Schriften sowie im weiteren Verlauf des Buches deren Kontext und Rezeption in der weiteren Entwicklung der Geometrie.
• Max Steck: Bibliographia Euclideana. Die Geisteslinien der Tradition in den Editionen der "Elemente" des Euklid um 365-300). Handschriften, Inkunabeln, Frühdrucke 16.Jahrhundert). Textkritische Editionen des 17.-20. Jahrhunderts. Editionen der Opera minora (16.-20.Jahrhundert). Nachdruck, herausgeg. von Menso Folkerts. Hildesheim: Gerstenberg, 1981.
• Neumaier, Wilfried, Was ist ein Tonsystem?, Frankfurt am Main, Bern, New York, 1986, Kap. 6, Die "Teilung des Kanons" des Eukleides.

Weblinks

Wikiquote: Euklid – Zitate

• http://www.anderegg-web.ch/phil/euklid.htm
• http://www.dynageo.de/ Geometrie-Software zur Erstellung dynamischer Konstruktionen