PT1-Glied

Als PT₁-Glied bezeichnet man ein LZI-Übertragungsglied in der Regelungstechnik, welches ein proportionales Übertragungsverhalten mit Verzögerung 1. Ordnung aufweist. Gebräuchliche Beispiele sind in der Elektrotechnik der Tiefpass und im Maschinenbau das Feder-Dämpfer-System.

Die zugehörige Funktionalbeziehung im Zeitbereich ist die Differentialgleichung

T\cdot {\dot {y}}(t)+y(t)=K\cdot u(t)

,

so dass die komplexe Übertragungsfunktion im Bildbereich die Form

G(s)={\frac {K}{1+T\cdot s}}

hat. Hierbei bezeichnet K, K > 0, die Übertragungskonstante bzw. den Verstärkungsfaktor und T , T > 0, die Zeitkonstante.

Bodediagramm

Beim PT₁-Glied ist $G(j\omega )={\frac {K}{1+j\omega T}}$ . Daher gilt für den Amplituden- und Phasengang im Bodediagramm:

|G(j\omega )|={\frac {K}{\sqrt {1+\omega ^{2}T^{2}}}}

\varphi (\omega )=-\arctan(\omega T)

Amplitudengang

Bezeichnet $\omega _{0}={\frac {1}{T}}$ die Knick- bzw. Eckfrequenz, so lässt sich der Amplitudengang grob in zwei Bereiche einteilen:

G(j\omega )={\begin{cases}K,&{\mbox{wenn }}\omega \ll \omega _{0}\\{\frac {K}{j{\frac {\omega }{\omega _{0}}}}},&{\mbox{wenn }}\omega \gg \omega _{0}\end{cases}}

bzw.

|G|_{\mathrm {dB} }={\begin{cases}20\log K,&{\mbox{wenn }}\omega \ll \omega _{0}\\20\log K-20\log {\frac {\omega }{\omega _{0}}},&{\mbox{wenn }}\omega \gg \omega _{0}\end{cases}}

Für Frequenzen unterhalb der Eckfrequenz liegt die Betragskennlinie des PT₁-Gliedes parallel zur 0-dB-Linie im Abstand von K_dB und für große Frequenzen fällt sie mit 20 dB/Dekade. Bei der Knickfrequenz ω = ω₀ schneiden sich die beiden Asymptoten. Der tatsächliche Wert des Amplitudenganges weicht dort um −3 dB von der asymptotischen Näherung ab. Bei ω = 0,5 ω₀ bzw. ω = 2 ω₀ beträgt die Abweichung nur noch −1 dB.

Die Eckfrequenz berechnet sich aus der Polstelle der Übertragungsfunktion, also der Nullstelle des Nenners 1 + Ts. Die Nullstelle ist $-{\frac {1}{T}}$ und heißt Eigenwert, dessen Betrag die Eckfrequenz ω₀ beschreibt.

Phasengang

Die Phasenverschiebung des PT₁-Gliedes beträgt bei kleinen Frequenzen 0°, bei großen Frequenzen −90° und bei der Knickfrequenz ω₀ −45°.

Für die asymptotische Näherung zeichnet man eine Gerade, die eine Dekade vor der Knickfrequenz bei 0° beginnt und eine Dekade nach der Knickfrequenz bei −90° endet.

Bodediagramm eines PT₁-Gliedes (K = 10, T = 1)

Sprungantwort

Die Sprungantwort des PT₁-Gliedes wird beschrieben durch

y(t)=K\cdot u(t)\cdot (1-\mathrm {e} ^{-{\frac {t}{T}}})

und hat den Verlauf einer e-Funktion. Der Endwert nähert sich K mal u(t) = u_B an. Nach der Zeit t = T beträgt der Wert 63,2% vom Beharrungswert u_B und nach t = 3 T bereits 95% vom Beharrungswert. Die Tangente im Ursprung schneidet den Beharrungswert nach der Zeit T. Der Betrag der Zeitkonstanten T bestimmt die Schnelligkeit des Gliedes.

Sprungantwort eines PT₁-Gliedes (K = 2, T = 1)

Ortskurve

Die Ortskurve ( $0\leq \omega \leq \infty$ ) des PT₁-Gliedes verläuft vom Punkt K auf der positiven reellen Achse durch den vierten Quadranten für $\omega \to \infty$ in den Punkt 0.

Siehe auch