Zentrum (Algebra)

Das Zentrum einer Algebra oder eines Ringes ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra.

Zentrum einer assoziativen Algebra

Das Zentrum einer assoziativen Algebra A ist die kommutative Unteralgebra

$\mathrm {Z} (A)=\{z\in A\mid za=az\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ a\in A\}.$

Eine Algebra stimmt genau dann mit ihrem Zentrum überein, wenn sie kommutativ ist.

Zentrum einer Liealgebra

Das Zentrum einer Linelalgebra ${\mathfrak {g}}$ ist das (abelsche) Ideal

${\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})=\{Z\in {\mathfrak {g}}\mid [X,Z]=0\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ X\in {\mathfrak {g}}\}.$

Eine Liealgebra stimmt genau dann mit ihrem Zentrum überein, wenn sie abelsch ist.

Beispiel

• Das Zentrum von ${\mathfrak {gl}}_{n}$ besteht aus den skalaren Vielfachen der Einheitsmatrix.
• Für eine assoziative Algebra mit dem Kommutator als Lieklammer stimmen die beiden Zentrumsbegriffe überein.

Siehe auch: Zentrum (Gruppentheorie)