Signifikante Stellen
Die signifikanten Stellen einer Zahl sind gleich der Anzahl der gegebenen Ziffern ohne die führenden und endenden Nullen.
Die Anzahl der signifikanten Stellen ist eine Angabe zur Genauigkeit einer Zahl.
Als Nachkommastellen werden die in der dezimalen Darstellung einer Zahl verwendeten Ziffern nach dem Komma bezeichnet.
Die Anzahl der signifikanten Stellen unterscheiden sich damit von der Anzahl der Nachkommastellen, denn diese ist die Anzahl aller Zahlen nach dem Komma.
Beispiele
- Stellen einer Zahl
| Zahl | Signifikante Stellen | Nachkommastellen |
|---|---|---|
| 98,76 | 4 | 2 |
| 0,009876 | 4 | 6 |
Signifikante Stellen einer ganzen Zahl
Ganze Zahlen haben keine Nachkommastellen.
Schwieriger ist es mit den signifikante Stellen: Besitzt „20“ eine, zwei oder sogar mehr signifikante Stellen?
Um diese Mehrdeutigkeit zu vermeiden, kann man die wissenschaftliche Schreibweise wählen:
- eine signifikante Stelle: 2·101
- zwei signifikante Stellen: 2,0·101
- sechs signifikante Stellen: 2,00000·101
Die Zahl der Nachkommastellen wie auch der signifikante Stellen ist von der Wahl der Einheit abhängig.
| Zahl | Signifikante Stellen | Nachkommastellen |
|---|---|---|
| 9876000,00·10−2 | 9 | 2 |
| 9876000 | ungeklärt: 4 oder 7 | 0 |
| 98760·102 | 5 | 0 |
| 987,6·104 | 4 | 1 |
| 9,876·106 | 4 | 3 |
| 0,09876·108 | 4 | 5 |
Ergebnis einer Rechnung
Auch das Ergebnis einer Rechnung ist von der Zahl der signifikanten Stellen, mit denen die Rechnung durchgeführt wird, abhängig:
| Zahl | Signifikante Stellen | Ergebnis |
|---|---|---|
| 20,567 + 0,0007 | 5 | 20,568 (Runden!) |
| 10 + 1,2345 | 2 | 11 |
| 4 | 11,23 | |
| 5 | 11,235 (Runden!) | |
| 1,234 * 3,33 | 3 | 4,11 |
Signifikante Stellen in der Meßtechnik
Das Ergebnis ist aber davon abhängig, ob die Anzahl der Stellen vor oder nach der Rechnung fixiert wird:
| Zahl | Signifikante Stellen | Ergebnis |
|---|---|---|
| 3 * 1,234 | 1 | 3 (Vor der Rechnung: 1,234 ≅ 1) |
| 4 (Nach der Rechnung: 3,702 ≅ 4) | ||
| 4 | 3,702 |
Welche der Zahlen für die Anzahl der signifikanten Stellen als Maß genommen wird, hängt insbesondere von ihrer Wertigkeit ab. Im letzten Beispiel etwa kann 3 ein gewisser Parameter sein, und die signifikanten Stellen ergeben sich aus dem Wert 1,234 im Sinne einer Variable. Oder die Zahl 1,234 ist der Parameter, dann sind die Stellen der Zahl 3 signifikant, werden aber nach der Rechnung ermittelt. Sind die beiden Zahlen aber von derselben Qualität, müssen sie vorher auf die selbe Signifikanz gebracht werden, und zwar auf die niedrigste Vorhandene (im anderen Falle hätte 3 als 3,000 angegeben werden müssen).
- Wird etwa ein Durchmesser eines Kreises auf Milimeter genau gemessen, errechnet man den Umfang trotzdem mit einer beliebig genauen Zahl Pi, und nicht mit der Zahl 3 oder 3,142. Der Umfang wird aber trotzdem wieder nur milimetergenau angegeben.
- Wird eine Zeichnung etwa im Maßstab 10:1 vergrössert, und die Koordinaten sind milimetergenau gemessen, ist die Vergrößerung zentimetergenau. Signifikante Stellen sind die der Koordinaten, nicht die des Maßstabsfaktors.
- Wird aber aus zwei gemessenen Kanten eines Dreiecks die dritte Seite errechnet, ist die Signifikanz des schlechteren der beiden Messwerte entscheidend.
Diese Überlegung ist insbesondere in der Messtechnik von Bedeutung, die Wahl der signifikanten Stellen bezieht sich jeweils auf eine bestimmte Größenart:
- Wird aus zwei Kanten eines Rechtecks die Fläche errechnet, so ist die Anzahl der signifikanten Stellen geringer als die der Kanten: Weil die „Fehler“ miteinander multipliziert werden, vermindert sich die Signifikanz im Quadrat.
Daher sollte man sich in messtechnischen Fragen auf die Angabe von Fehlergrenzen beziehen, und nicht auf signifikante Stellen.