Potenz (Mathematik)

Potenzieren ist eine mathematische Rechenoperation, die sich zur Multiplikation analog wie diese zur Addition verhält. Es handelt sich also um eine "Kurzschreibweise" für wiederholtes Multiplizieren:

${\begin{matrix}\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdots a} \\{b}\end{matrix}}=\prod _{i=1}^{b}a=a^{b}$

a nennt man die Basis (Grundzahl) und b den Exponenten (Hochzahl). Das Ergebnis ist die Potenz. a ist eine reelle und b ist eine ganze Zahl. Wenn hochgestelltes Schreiben nicht möglich ist (z.B. ASCII-Text), verwendet man oft a^b.

Da das Kommutativgesetz beim Potenzieren nicht gilt (2³ = 2×2×2 = 8, 3² = 3×3 = 9) gibt es zwei Umkehrrechnungen: das Wurzelziehen, um Gleichung der Bauart x^a=b zu lösen, und das Logarithmieren für Gleichungen a^x=b.

Es gibt auch Erweiterungen des Potenzierens für nichtganzzahlige Exponenten, siehe dazu den Abschnitt nicht ganzzahlige Exponenten.

Rechenregeln

Sind a und b reelle Zahlen und n, r und s natürliche Zahlen, gilt:

$\left(a\cdot {}b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
$a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$ , falls a≠0
${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
$\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
$a^{0}=1$

Der letzte Punkt folgt aus

$a^{0}=a^{r-r}={\frac {a^{r}}{a^{r}}}=1$ .

Da man nicht durch Null dividieren darf, hat 0⁰ keinen durch die Potenzgesetze definierten Wert. Meist definiert man 0⁰ = 1, es gibt aber auch Anwendungen, in denen andere Definitionen sinnvoller sind.

nicht ganzzahlige Exponenten

Sind n und m ganze Zahlen (n ≠ 0), sowie a eine positive, reelle Zahl, dann definiert man:

a^{\frac {m}{n}}:={\sqrt[{n}]{a^{m}}}

Ausdrücke wie ${\sqrt[{6}]{(-27)^{2}}}$ sind zwar auch definiert, jedoch ist $(-27)^{2/6}$ undefiniert, da man $2/6$ kürzen kann zu $1/3$ , aber ${\sqrt[{6}]{(-27)^{2}}}=3$ ungleich ${\sqrt[{3}]{(-27)^{1}}}=-3$ ist.

siehe auch Wurzel (Mathematik)

Potenzen positiver reeller Zahlen mit beliebigen reellen Exponenten sind so definiert:

a^{b}:=\exp(b\cdot \ln a)

Dabei ist $\exp$ die Exponentialfunktion und $\ln$ der natürliche Logarithmus.

Potenzen komplexer Zahlen

Ist a+bi = r·e^φ mit reellen Zahlen a, b, r (r>0), φ, dann gilt

(a+b\;i)^{n}=(r\cdot e^{i\varphi })^{n}=r^{n}\cdot e^{i\;n\varphi }

Das Wurzelziehen ist bei komplexen Zahlen nicht eindeutig, es ergeben sich n verschiedene n-te Wurzeln einer komplexen Zahl a+bi ≠ 0:

(a+b\;i)^{1/n}=(r\cdot e^{i\varphi })^{1/n}=\left\{r^{1/n}\cdot e^{i\;(\varphi +2\pi k)/n}\ |\ k=1,...,n\right\}

Beliebige reelle oder komplexe Potenzen beliebiger komplexer Zahlen lassen sich zwar durch die Formel $a^{b}:=\exp(b\ln a)$ definieren, aber da der komplexe Logarithmus unendlich viele Werte annimmt, hat man unendlich viele verschiedene Potenzen.

besondere Potenzen

Im alltäglichen Leben werden Potenzen mit der Basis 10 (1, 10, 100, 1000,...) wohl am häufigsten verwendet. Sie bilden die Grundlage unseres Zahlensystems, dem Dezimalsystem.

Zu digitalen Verarbeitung von Daten am Computer wird das Dualsystem mit der Basis 2 verwendet. Die Größeneinheiten digitaler Speichersysteme sind Potenzen zur Basis zwei. Ein Kibibyte KiB (noch oft veraltend Kilobyte KB genannt) sind 2¹⁰ = 1024 Byte.

Für die Mathematik sind besonders Potenzen mit der Basis e, der Eulerschen Zahl (~2.71828), wichtig.

siehe auch