Satz von Fubini

Der Satz von Fubini ist ein wichtiger Satz in der Integralrechnung. Er gibt an, unter welchen Bedingungen und wie man mehrdimensionale Integral mit Hilfe von eindimensionalen Integralen ausrechnen kann. Erstmals wurde dieser Satz von Guido Fubini bewiesen.

Beschreibung

Mit Hilfe des Riemann-Integrals oder des Lebesgue-Integrals kann man die Integration von Funktionen über mehrdimensionale Gebiete definieren. Das Problem hierbei ist, dass diese Integrale über einen Grenzwert mit Hilfe einer Zerlegungung des Gebiets in kleine Teile definiert ist. Diese ergibt vorderhand keine nützliche, konstruktive Methode, um solche Integrale zu berechnen. Bei eindimensionalen Integralen kann man diese Grenzwertbildung vermeiden, wenn man die Stammfunktion kennt (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung).

Mit Hilfe des Satzes von Fubini können nun mehrdimensionale Integrale auf eindimensionale zurückgeführt werden, welche wiederum mit Hilfe einer Stammfunktion (sofern bekannt) berechnet werden können. Dieser Trick ist in naiver Weise (vor einer exakten Definition der Integrationsrechnung) schon im 16. Jahrhundert verwendet worden - im Falle von Volumensberechnungen unter dem Prinzip von Cavalieri bekannt.

Tromeromer

Satz von Fubini für das Lebesgue-Integral

Sei $f(x,y)$ eine relle messbare Funktion, die bezüglich des Produktmaßes $d(x,y)$ integrierbar ist:

$\int _{I\times J}|f(x,y)|d(x,y)<\infty ,$

dann sind die Funktionen

$x\to \int _{I\times J}f(x,y)dy$

$y\to \int _{I\times J}f(x,y)dx$

integrierbar, und es gilt die Gleichheit $\int _{I\times J}f(x,y)d(x,y)=\int _{J}^{}~\int _{I}^{}~f(x,y)~dx~dy=\int _{I}^{}~\int _{J}^{}~f(x,y)~dy~dx$ Diese Identität gilt für alle Mengen I, J, die Kompaktheit ist nicht erforderlich.

Satz von Tonelli

Eine nützliche Variante dieses letzten Satzes ist der Satz von Tonelli (auch Satz von Fubini-Tonelli). Für positive Funktionen wird die Integrierbarkeit bezüglich des Produktmaßes als Voraussetzung nicht benötigt. Es reicht, dass die iterierten Integrale existieren:

Sei $f(x,y)$ eine positive relle messbare Funktion, falls entweder $\int _{J}^{}~\int _{I}^{}~f(x,y)~dx~dy<\infty$ oder $\int _{I}^{}~\int _{J}^{}~f(x,y)~dy~dx<\infty$ Dann ist f(x,y) bezüglich des Produktmaßes integrierbar und es gilt: $\int _{I\times J}f(x,y)d(x,y)=\int _{J}^{}~\int _{I}^{}~f(x,y)~dx~dy=\int _{I}^{}~\int _{J}^{}~f(x,y)~dy~dx$

Weiteres

Siehe auch: Liste mathematischer Sätze