Harshad-Zahl

Eine Harshad-Zahl oder Niven-Zahl ist eine natürliche Zahl, die durch ihre Quersumme, d.h. die Summe ihrer Ziffern (im Dezimalsystem), teilbar ist. Beispielsweise ist 777 durch $7+7+7=21$ teilbar: $777=21\cdot 37$.

Die ersten Harshad-Zahlen sind:

$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,18,20,21,24,27,30,36,40,42,45,48,50,\ldots$

(Folge A005349 in OEIS)

Das oben angegebene Beispiel mit der Zahl 777 lässt sich auf alle 3-stelligen natürlichen Zahlen desselben Typs verallgemeinern:

Jede natürliche Zahl der Form $nnn$, wobei $n$ eine beliebige Ziffer von 0 bis 9 darstellen kann, ist eine Harshad-Zahl, also lässt sich durch ihre Quersumme teilen.

Der Beweis ergibt sich aus folgender Überlegung:

$nnn=n\cdot 10^{2}+n\cdot 10^{1}+n\cdot 10^{0}$

$=n\cdot (100+10+1)$

$=n\cdot 111$

$=n\cdot (3\cdot 37)$

$=(n\cdot 3)\cdot 37$

Nun ist aber die Quersumme von $nnn\colon n+n+n=n\cdot 3$. Somit ist jede natürliche Zahl der Form $nnn$ das 37-fache ihrer Quersumme, also eine Harshad-Zahl. q.e.d.