Differentialgleichung

Eine Differentialgleichung, auch Differenzialgleichung, oft abgekürzt als DGL, ist eine Gleichung, die eine Funktion f(x) und eine oder mehrere Ableitungen dieser Funktion enthält. Eine Vielzahl von Phänomenen wie Wachstum oder Bewegung können durch Differentialgleichungen beschrieben werden. Um eine Differentialgleichung zu lösen, muss eine Funktion gefunden werden, die der Differentialgleichung genügt.

Die Haupttypen von Differentialgleichungen sind

1. gewöhnliche Differentialgleichung: In der Gleichung tauchen nur Ableitungen nach einer Variablen auf.
2. partielle Differentialgleichung: In der Gleichung tauchen Ableitungen nach mehreren Variablen auf.

Seltenere Gleichungen sind die Differential algebraischen Gleichungen, bei denen zusätzlich zur Differentialgleichung noch rein algebraische Nebenbedingungen eingebracht werden.

Die in der Differentialgleichung gesuchte Funktion f kann von einer Variablen x oder mehreren (x = (x₁, x₂, ..., x_n) in Vektorschreibweise) abhängen. Im ersten Falle spricht man von einer gewöhnlichen Differentialgleichung, im letzteren Falle von einer partiellen Differentialgleichung. Hierbei ist implizit angenommen, dass Ableitungen nach allen vorkommenden Variablen auftreten; andernfalls spricht man von Parametern. Aus dem Englischen kommend werden die Abkürzungen ODE (ordinary differential equation) und PDE (partial differential equation) für gewöhnliche und partielle Differenzialgleichungen benutzt.

Weiterhin ist es in der Theorie der Differentialgleichungen üblich, auch Systeme von Differentialgleichungen als "Differentialgleichung" aufzufassen. Solche Systeme liegen vor, wenn in mehreren Gleichungen gleichzeitig mehrere Funktionen und deren Ableitungen zusammenwirken.

Beispiele von Differentialgleichungen

Hier ist eine Liste von Differentialgleichungen, die in einem eigenen Artikel besprochen werden:

Gewöhnliche DGLs

1. Bernoulli-Gleichung
2. Clairaut-Gleichung
3. d'Alembert-Differentialgleichung
4. Eulersche Differentialgleichung
5. Riccati-Gleichung
6. (Euler-)Lagrange-Gleichungen
7. Hermitesches Polynom (löst bestimmte Differentialgleichungen)

Partielle DGLs

1. Wellengleichung
2. Wärmeleitungsgleichung
3. Poisson-Gleichung
4. Laplace-Gleichung
5. Navier Stokes Gleichungen
6. Maxwell Gleichungen
7. Schrödingergleichung
8. Klein-Gordon-Gleichung
9. Dirac-Gleichung
10. Pauli-Gleichung
11. Einsteinsche Feldgleichungen

Siehe auch

1. Integralgleichung
2. dynamisches System
3. Chaostheorie
4. Anfangswertproblem
5. Randwertproblem