Schiefkörper

Als Schiefkörper, bzw. Divisionsring ( nicht identisch mit dem Begriff Divisionsalgebra )

wird ein Tripel ( S , + , * ) bezeichnet, wenn es die Bedingungen der nachfolgenden Tabelle erfüllt:

S ist eine [[Menge]] mit mindestens zwei Elementen. + ist eine abgeschlossene zweistellige Funktion auf S ( "Addition" ). * ist eine abgeschlossene zweistellige Funktion auf S ( "Multiplikation" ).
Die Addition ist [[assoziativ]]: Für alle Elemente a, b und c aus S gilt: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c.	Die Multiplikation ist [[assoziativ]]: Für alle Elemente a, b und c aus S gilt: a * ( b * c ) = ( a * b ) * c.
Neutrales Element der Addition ( "Null" ): Es gibt ein Element 0 aus S, so daß für alle Elemente a aus S gilt: a + 0 = a.	Neutrales Element der Multiplikation ( "Eins" ): Es gibt ein Element 1 aus S, so daß für alle Elemente a aus S gilt: a * 1 = 1 * a = a.
Inverse Elemente der Addition: Zu jedem Element a aus S gibt es ein Element -a mit a + -a = 0.	Inverse Elemente der Multiplikation: Zu jedem Element a ungleich 0 aus S gibt es ein Element a<sup>-1</sup> mit a * a<sup>-1</sup> = a<sup>-1</sup> * a = 1.
Die Addition ist [[kummutativ]]: Für alle Elemente a und b aus S gilt: a + b = b + a.
Distributivgesetz: Für alle Elemente a, b und c aus S gelten: a * ( b + c ) = a * b + a * c und ( a + b ) * c = a * c + b * c.

Falls ein Schiefkörper zusätzlich kummutativ bezüglich der Multiplikation  ist ( ∀ a, b ∈ S: a * b = b * a ),
handelt es sich um einen Körper.
Jeder Körper ist zugleich ein Schiefkörper.
Es gibt Schiefkörper, die keine Körper sind, z.B. die Quaternionen.

Aus der Voraussetzung, daß S mindestens zwei Elemente besitzt, folgt 0 ungleich 1.

Es ist üblich, nicht nur das Tripel ( S , + , * ) als Schiefkörper zu bezeichnen, sondern aus S selbst.