Oktave (Mathematik)

Die Oktaven oder Cayleyzahlen sind eine Verallgemeinerung der Quaternionen

und besitzen das Mengensymbol O.

Jede Oktave kann dargestellt werden ...
... als 8er-Tupel von reellen Zahlen: ( r1 , r2 , ... , r8 )
... als 4er-Tupel von komplexen Zahlen: ( c1 , c2 , c3 , c4 )
... als geordnetes Paar von Quaternionen: ( h1 , h2 )

Der Körper der reelen Zahlen R kann als Unterstruktur von O betrachtet werden:
    Für alle Zahlen r aus R gilt: r entspricht ( r , 0 , ... , 0 )
Der Körper der komplexen Zahlen C kann als Unterstruktur von O betrachtet werden:
    Für alle Zahlen c aus C gilt: c entspricht ( c , 0 , 0 , 0 )
Der Schiefkörper der Quaternionen H kann als Unterstruktur von O betrachtet werden:
    Für alle Zahlen h aus H gilt: h entspricht ( h , 0 )

Für die Oktaven sind Addition und Multiplikation so definiert, daß sie abwärtskompatibel sind, d.h. ...
... für alle reellen Zahlen r und s gilt:
    r + s = ( r , 0 , ... , 0 ) + ( s , 0 , ... , 0 )
    r * s = ( r , 0 , ... , 0 ) * ( s , 0 , ... , 0 )
... für alle komplexen Zahlen c und d gilt:
    c + d = ( c , 0 , 0 , 0 ) + ( d , 0 , 0 , 0 )
    c * d = ( c , 0 , 0 , 0 ) * ( d , 0 , 0 , 0 )
... für alle Quaternionen h und i gilt:
    h + i = ( h , 0 ) + ( i , 0 )
    h * i = ( h , 0 ) * ( i , 0 )

Die Oktaven bilden mit der definierten Addition und Multiplikation eine Divisionsalgebra,
jedoch keinen Schiefkörper ( und damit auch keinen Körper ).
Die beiden folgenden Regeln sind daher für Oktaven NICHT allgemeingültig:
  Kommutativgesetz der Multiplikation: o * p = p * o
  Assoziativgesetz der Multiplikation: o * ( p * q ) = ( o * p ) * q
Es gilt jedoch für alle Oktaven o und p das schache Assoziativgesetz:
  o * ( o * p ) = ( o * o ) * p  und  o * ( p * p ) = ( o * p ) * P