Ebene (Mathematik)

Die 3 Koordinatenebenen

Eine Ebene ist in der Mathematik ein zweidimensionaler Vektorraum. Meist meint man die in der Geometrie verwendete euklidische Ebene, die ein zweidimensionaler euklidischer Raum ist.

Zur Beschreibung einer Ebene (Ebenengleichung) gibt es verschiedene Möglichkeiten:

• Koordinatendarstellung : $a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot y+a_{3}\cdot z=b$
• Parameterform : ${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+\lambda \cdot {\vec {u}}+\mu \cdot {\vec {v}}$ (ein Punkt und zwei Richtungen)
• Dreipunktform : ${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+\lambda \cdot {\vec {(}}{\vec {r}}_{3}-{\vec {r}}_{1})+\mu \cdot {\vec {(}}{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})$ (drei Punkte)
• Normalenform : $({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}=0$ (ein Punkt (${\vec {a}}$) und eine Richtung senkrecht zur Ebene (${\vec {n}}$))
• Hessesche Normalform : ${\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}=d$ (die Richtung senkrecht zur Ebene und der Abstand zum Nullpunkt)
• Achsenabschnittsform : ${x \over a}+{y \over b}+{z \over c}=1$

Umwandlungen zwischen den verschiedenen Formen (Beispiele)

Normalenform in Koordinatenform

Es sei eine Ebene durch ihren Aufpunkt ${\vec {a}}={\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}}$ und den Normalenvektor ${\vec {n}}={\begin{pmatrix}6\\-2\\13\end{pmatrix}}$ gegeben. Die Ebene stellt sich in der Normalenform also wie folgt dar:

$\left({\vec {x}}-{\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}}\right)\cdot {\begin{pmatrix}6\\-2\\13\end{pmatrix}}=0$

Diese Gleichung ist nun auszumultiplizieren, wobei der Vektor ${\vec {x}}$ in seine Koordinaten $x_{1}\,$, $x_{2}\,$ und $x_{3}\,$ aufgelöst wird:

$6x_{1}-2x_{2}+13x_{3}-(2\cdot 6+\left(-3\right)\cdot \left(-2\right)+2\cdot 13)=0$

Zusammengefasst ergibt sich daraus die Ebene in ihrer Koordinatenform:

$6x_{1}-2x_{2}+13x_{3}-44=0\,$

Koordinatenform in Normalenform

Es sei eine Ebene in ihrer Koordinatenform gegeben:

$2x_{1}-3x_{2}+x_{3}-9=0\,$

Aus den Vorfaktoren von $x_{1}\,$, $x_{2}\,$ und $x_{3}\,$ lässt sich der Normalenvektor direkt ablesen:

${\vec {n}}={\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}}$

Der Aufpunkt ${\vec {a}}$ ist ein beliebiger Punkt in der Ebene, weshalb er die Ebenengleichung erfüllen muss. Die Koordinaten des Aufpunkts lassen sich berechnen, indem zwei der drei Koordinaten beliebig gewählt werden, die dritte Koordinate bestimmt sich dann durch Lösen der Ebenengleichung. Im Beispiel werden die beiden Koordinaten $x_{1}\,$ und $x_{2}\,$ zu Null gesetzt:

$2\cdot 0-3\cdot 0+x_{3}-9=0\,$

$x_{3}=9\,$

Somit ist der Aufpunkt ${\vec {a}}={\begin{pmatrix}0\\0\\9\end{pmatrix}}$. Die Ebene lässt sich nun in der Normalenform darstellen:

${\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}}\cdot \left({\vec {x}}-{\begin{pmatrix}0\\0\\9\end{pmatrix}}\right)=0$

Anmerkung: Wenn die Ebene parallel zur xy-Ebene, zur xz-Ebene oder yz-Ebene liegt, so kann die Ebenengleichung bei ungünstiger Wahl der zwei Aufpunktkoordinaten evtl. nicht lösbar sein. Einfache Abhilfe schafft man, indem man die dritte Koordinate frei wählt und nach einer der anderen beiden auflöst.

Parameterform in Koordinatenform

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}5\\2\\5\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}8\\1\\3\end{pmatrix}}={\overrightarrow {x}}$ umwandeln in $ax+by+cz+d=0$

Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ergibt den Normalenvektor der Ebene, dessen Komponenten die Koeffizienten a,b,c sind.

${\begin{pmatrix}5\\2\\5\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}8\\1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\25\\-11\end{pmatrix}}$

$\Longrightarrow 1x+25y-11z+d=0$

Zur Berechnung von d nun einfach den Stützvektor in die Koordinatenform einsetzen:

$1\cdot 1+25\cdot 2-11\cdot 3+d=0\Longrightarrow d=18$

Koordinatenform in Parameterform

$x+25y-11z-18=0$

Zwei der Variablen substituiert man mit $\lambda \quad \mu$ und nach der dritten wird umgestellt.

$y=\lambda \;;\;z=\mu \;;\;x=-25\cdot \lambda +11\cdot \mu +18$

Damit erhält man sofort

$x=18-25\lambda +11\mu$

$y=0+\lambda +0$

$z=0+0+\mu$

und damit ist sofort klar ${\begin{pmatrix}18\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-25\\1\\0\end{pmatrix}}\cdot \lambda +{\begin{pmatrix}11\\0\\1\end{pmatrix}}\cdot \mu ={\overrightarrow {x}}$

Ebenen im 3-dimensionalen Raum

kartesische Koordinaten

Die x-y-Ebene, u-a-Ebene und die z-x-Ebene sind Schnitte oder Abbildungen des dreidimensionalen Raums, bei denen die jeweils im Namen vorkommenden Achsen des kartesischen Koordinatensystems sichtbar sind. Sie sind in der Regel unendlich weit ausgedehnt.

Polarkoordinaten

Genauso lassen sich in Polarkoordinaten Ebenen bilden. Man kann es mit einer Torte erklären:

• Die r-z-Ebene beschreibt die Ebene, die ein Tortenstück von der geschnittenen Seite zeigt. (Man sieht die Sahnefüllung und die Teigschichten). Damit kann man sehr gut rotationssymmetrische Körper darstellen und z. B. dreidimensionale Felder, Kräfte, etc. vereinfacht berechnen. (Eine Rotation dieser Ebene um die Z-Achse um 2π ergibt dann den rotationssymmetrischen Körper.) Die r-z-Ebene ist in z-Richtung unendlich weit ausgedent, in r-Richtung jedoch nur von r=0 bis ∞, deshalb ist sie eigentlich nur eine Halbebene. Würde man die ganze Torte in zwei Hälften schneiden, wäre alles links von der Mitte eine Spiegelung der rechten Seite, deshalb verwendet man nur eine Halbebene.
• Die r-φ-Ebene (auch Drehebene) sieht man die Torte von oben, oder man schneidet mit dem Messer von oben etwas ab und sieht den Schnitt durch eine Schicht von oben. Sie ist unendlich weit ausgedehnt und unterscheidet sich nicht von einer Ebene in kartesischen Koordinaten, wenn man sie zu einer x-y-Ebenen umdefiniert (die Z-Achse zeigt dann weiterhin aus der Ebenen heraus). Die r-φ-Ebene kann z. B. zur zweidimensionalen Darstellung und Berechnung eines Elektromotors verwendet werden.
• Der φ-z-Ebene kommt eine geringere Bedeutung zu. Sie würde z. B. den abgewickelten Rand der Torte zeigen und liegt in den Intervallen z=[-∞,∞] und φ=[0,2π].

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Siehe auch Planiversum, Spurgerade, Affine Ebene