Intervallschachtelung

Das Intervallschachtelungsprinzip wird besonders in der Analysis in Beweisen benutzt und bildet in der Numerischen Mathematik die Grundlage für einige Lösungsverfahren.

Das Prinzip ist einfach: Man fängt mit einem Intervall an und "nimmt" sich aus diesem Intervall ein Intervall, das komplett in dem vorherigen Intervall liegt, "nimmt" sich dort wieder ein Intervall heraus und so weiter. Werden die Längen der Intervalle beliebig klein, konvergiert ihre Länge also gegen Null, so gibt es letztlich genaue eine reelle Zahl, die in allen Intervallen enthalten ist. Wegen dieser Eigenschaft können Intervallschachtelungen herangezogen werden, um mit ihnen die reellen Zahlen als Zahlbereichserweiterung der rationalen Zahlen zu konstruieren.

Definition

Seien $(a_{n}),(b_{n})\subset \mathbb {R}$ rationale oder reelle Zahlenfolgen, $(a_{n})\;$ monoton wachsend und $(b_{n})\;$ monoton fallend, $a_{n}\leq b_{n}\;$ für alle $n\in \mathbb {N} \;$, und bilden die Differenzen $d_{n}=b_{n}-a_{n}$ eine Nullfolge, also

$\lim _{n\to \infty }(b_{n}-a_{n})=0\;$,

dann wird die Folge $(J_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ oder auch $\left(a_{n}|b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$der Intervalle $J_{n}:=[a_{n},b_{n}]$ als Intervallschachtelung bezeichnet..

Konstruktion der reellen Zahlen

Es gilt nun, dass es für jede Intervallschachtelung rationaler Zahlen höchstens eine rationale Zahl $s$ gibt, die in allen Intervallen enthalten ist, die also $a_{n}\leq s\leq b_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ erfüllt.

Es stimmt aber nicht, dass jede Intervallschachtelung rationaler Zahlen mindestens eine rationale Zahl $s$ enthält; um eine solche Eigenschaft zu erhalten, muss man das System der rationalen Zahlen auf das System der reellen Zahlen erweitern. Dies lässt sich beispielsweise mit Hilfe der Intervallschachtelungen durchführen. Dazu sagt man, jede Intervallschachtelung definiere eine wohlbestimmte reelle Zahl, also $\sigma :=(J_{n})$.

Die Gleichheit reeller Zahlen definiert man dann über die entsprechenden Intervallschachtelungen: $\left(a_{n}|b_{n}\right)=\left(a'_{n}|b'_{n}\right)$ genau dann wenn stets $a_{n}\leq b'_{n}$ und $a'_{n}\leq b_{n}$..

Auf analoge Weise lassen sich die Verknüpfungen reeller Zahlen als Verknüpfungen von Intervallschachtelungen definieren; beispielsweise ist die Summe zweier reeller Zahlen als

$\left(a_{n}|b_{n}\right)+\left(a'_{n}|b'_{n}\right)=\left(a_{n}+a'_{n}|b_{n}+b'_{n}\right)$

definiert..

Dieses so definierte System hat nun die gewünschten Eigenschaften, insbesondere gilt nun, dass jede beliebige Intervallschachtelung reeller Zahlen genau eine reelle Zahl enthält..

Intervallschachtelungen sind aber nicht die einzige Möglichkeit zur Konstruktion der reellen Zahlen; insbesondere ist die Konstruktion als Cauchyfolge weiter verbreitet.

Weitere Anwendungen

• Der Zwischenwertsatz von Bolzano lässt sich mit dem Intervallschachtelungsprinzip beweisen, aus ihm leitet sich der Fixpunktsatz von Brouwer ab.
• Die Bisektion ist ein numerisches Verfahren, das auf der Intervallschachtelung basiert.