Allgemeine Relativitätstheorie

Die allgemeine Relativitätstheorie (kurz: ART) beschreibt die Wechselwirkung zwischen Raum und Zeit einerseits und Materie (inklusive Feldern) andererseits. In ihrer Kernaussage führt sie die Gravitation auf ein geometrisches Phänomen in einer gekrümmten 4-dimensionalen Raumzeit zurück. Sie wurde von Albert Einstein entwickelt und 1916 veröffentlicht.

Die allgemeine Relativitätstheorie stellt eine Erweiterung der speziellen Relativitätstheorie dar und geht für hinreichend kleine Gebiete der Raumzeit in diese über. Gleichzeitig ist sie eine Erweiterung des newtonschen Gravitationsgesetzes und geht für hinreichend kleine Massen und Geschwindigkeiten in dieses über.

Inzwischen gibt es für die allgemeine Relativitätstheorie eine ausreichende Zahl von experimentellen Bestätigungen, so dass sie als Gravitationstheorie allgemein anerkannt ist. Insbesondere hat sie sich bisher in der von Einstein formulierten Form gegen alle später vorgeschlagenen Alternativen durchsetzen können.

Der folgende Artikel baut auf den Ausführungen des Artikels Relativitätstheorie auf und hat zum Ziel, das Verständnis bezüglich der dort erwähnten Phänomene und Strukturen zu vertiefen.

Einleitung

Geodäten (rot) in einem zweidimensionalen gekrümmten Raum, der in einen dreidimensionalen Raum eingebettet ist

Der zentrale Inhalt der allgemeinen Relativitätstheorie ist eine der naiven Anschauung unzugängliche Wechselwirkung zwischen der Materie und der Raumzeit mit den beiden folgenden Eigenschaften:

• Energie und Impuls der Materie krümmen die Raumzeit in ihrer Umgebung. Die Krümmung der 4-dimensionalen Raumzeit ist nicht anschaulich vorstellbar, daher sollte der Begriff der Krümmung eher als abstrakter Fachbegriff aufgefasst werden. Sie ist beispielsweise nur sehr begrenzt vergleichbar mit der Krümmung einer 2-dimensionalen Fläche, insbesondere weil Raum und Zeit in der Raumzeit gleich behandelt werden.
• Ein Gegenstand, auf den keine nichtgravitative Kraft ausgeübt wird, bewegt sich zwischen zwei Stellen in der Raumzeit stets entlang eines in gewissem Sinne geradlinigen Weges. Genauer betrachtet handelt es sich um eine so genannte Geodäte der 4-dimensionalen Raumzeit, das heißt eine Linie, die alle Punkte auf ihr durch einen extremalen Weg verbindet. In der Regel bedeutet dies jedoch nicht, dass die Bewegung einer Geodäte des 3-dimensionalen Raumes folgt.

Die erste Eigenschaft beschreibt eine Wirkung von Energie und Impuls auf die Raumzeit, und die zweite umgekehrt.

Zur Krümmung tragen dabei nicht nur die Masse und ihr Impuls, die über die Beziehung $E={\sqrt {m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}}$ einer Energie entsprechen, sondern alle Energieformen bei. So sind beispielsweise auch evtl. vorhandene elektromagnetische Felder zu berücksichtigen, da sie auch eine Energieform darstellen, sowie ebenfalls einen Feldimpuls haben können. Die maßgebliche Größe ist der so genannte Energie-Impuls-Tensor. In welcher Weise er die Raumzeit krümmt, wird durch die einsteinschen Feldgleichungen festgelegt (siehe unten).

Die zweite Eigenschaft beschreibt die Gravitation. Dabei wird die Bewegung eines Gegenstands entlang eines bestimmten Weges im Raum als Linie in der 4-dimensionalen Raumzeit interpretiert und als seine Weltlinie bezeichnet. Das sei am Beispiel eines Systems von Massenpunkten erläutert, wie beispielsweise einem Kugelsternhaufen. Da ein Beobachter in jedem Moment nur den gewöhnlichen 3-dimensionalen Raum wahrnehmen kann, und nicht die gesamte 4-dimensionale Raumzeit, kann er die Geodäten der einzelnen Sterne nicht unmittelbar als solche erkennen. Auf seinem eigenen Weg durch die Raumzeit beobachtet er stattdessen im Raum krumme Bahnkurven der Sterne um den Schwerpunkt des Haufens, aus denen er nach der newtonschen Mechanik auf Kräfte schließt, die er Gravitationskräfte nennt.

Die zugrundeliegende Ursache ist jedoch vor allem die Wahl des Koordinatensystems. Ein mit einem Stern mitfliegender Beobachter wird seinen Stern als ruhend ansehen und allein von der Beobachtung seines Sterns nicht auf eine Gravitationskraft schließen. Erst, wenn er auch die anderen Sterne des Haufens beobachtet, erkennt er, dass die Sterne im Schwerpunktsystem des Haufens elliptische Bahnen um den Schwerpunkt beschreiben. Dies folgt aus der Krümmung der Raumzeit. Jeder Stern fliegt in gewissem Sinne in der Raumzeit so gut geradeaus, wie es angesichts der Krümmung überhaupt möglich ist. Im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie gibt es letztlich keine Gravitationskräfte. In diesem Sinne bezieht sich auch die Kräftefreiheit, von der oben die Rede ist, nur auf die Abwesenheit von nicht-gravitativen Kräften.

Die Wurfparabel

Eine Krümmung der Raumzeit hat im Allgemeinen auch eine Krümmung des in sie eingebetteten Raumes zur Folge. Zur Erklärung der Gravitation reicht die Betrachtung des krummen Raumes alleine jedoch nicht aus. So ist der Raum, in dem wir auf der Erde leben, natürlich nicht so stark gekrümmt, dass er eine Wurfparabel erklären könnte. Zum Verständnis der Wurfparabel muss man berücksichtigen, dass beispielsweise ein Ball, den ein Jongleur von einer Hand in die andere wirft, auf seinem Weg durch den Raum von etwa 1m auch einen Weg durch die Zeit von etwa 1s zurücklegt. Im Rahmen der Mathematik der Raumzeit entspricht diese eine Sekunde rechnerisch einer Wegstrecke in Richtung der Zeitachse von etwa 300.000 km. Diesen Wert erhält man, indem man der Zeit t über x=ct einen Weg x in der Raumzeit zuordnet, wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist. Was man letztlich sieht, ist also eine winzige Krümmung der Raumzeit in einem Gebiet von astronomischem Ausmaß.

Der Ball fliegt entlang einer Geodäte und damit tatsächlich geradeaus, so „gut“ er das in der gekrümmten Raumzeit kann. Der Jongleur dagegen nimmt den krummeren Weg, da er durch eine elektrostatische Gegenkraft nach oben beschleunigt wird, mit der ihn der Boden, auf dem er steht, nach oben drückt. Diese Gegenkraft kompensiert die Gravitationskraft, mit der Folge, dass er nicht in die Erde stürzt. Genauer betrachtet äußert sich also die Krümmung der Raumzeit in dieser Situation dadurch, dass der Jongleur nicht von der Stelle kommt, obwohl er einer permanenten Kraft von unten ausgesetzt ist. Das Argument, dass sich hier zwei Kräfte kompensieren würden, ist dadurch haltlos, dass die nach unten gerichtete Gravitationskraft lediglich eine geometrische Ursache hat. Die Situation ist vergleichbar mit der des scheinbaren Gleichgewichts von Zentrifugal- und Zentripetalkraft bei einer Rotationsbewegung, die für den rotierenden Beobachter vorliegt. Für den ruhenden Beobachter jedoch ist die Zentrifugalkraft eine Scheinkraft, so dass tatsächlich eine Beschleunigung vorliegt.

Grundlegende Konzepte

Der ART liegen einige Konzepte zugrunde, die als Ausgangspunkt der Theorie aufgefasst werden können. Die Theorie folgt dabei nicht zwingend aus diesen Prämissen, ist aber die einfachste bekannte Umsetzung derselben.

Spezielle Relativitätstheorie

Grundlage der speziellen Relativitätstheorie sind die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit und das Relativitätsprinzip, das besagt, dass jeder Beobachter, der sich geradlinig und unbeschleunigt bewegt, in seinem Bezugsystem dieselben Naturgesetze und insbesondere dieselbe Lichtgeschwindigkeit misst. Daraus folgt, dass Längen- und Zeitbegriff von der Geschwindigkeit eines Bezugssystems abhängen müssen. Die damit verbundenen Phänomene werden als Lorentzkontraktion und Zeitdilatation bezeichnet. Zudem kann ein massebehafteter Körper niemals die Lichtgeschwindigkeit erreichen, weil sonst seine Energie unendlich würde. Außerdem würden für solch einen Körper einige Lichtstrahlen ruhen, so dass ein Beobachter im Ruhesystem des Körpers eine Lichtgeschwindigkeit von null für eine bestimmte Richtung messen müsste, was dem Relativitätsprinzip widerspricht. Die Lichtgeschwindigkeit stellt also eine Grenzgeschwindigkeit dar, die kein Körper jemals überschreiten kann.

Die spezielle Relativitätstheorie sagt damit nichts über die Gravitation aus und bei genauerer Betrachtung ist sie auch nur gültig, wenn man keine massebehafteten Körper betrachtet. Die allgemeine Relativitätstheorie erweitert die spezielle Relativitätstheorie, so dass auch Systeme mit Massen beschrieben werden können. Das bedeutet, dass die spezielle Relativitätstheorie nicht allgemein gültig ist, sondern nur in Raumzeitgebieten, in denen die Gravitation vernachlässigbar ist. Sie gilt also im Vakuum aber in der Nähe von Massen gilt sie nur noch in kleinen Raumgebieten bei kleinen Zeitintervallen. Die allgemeine Relativitätstheorie erlaubt es jedoch, zumindest theoretisch, auch bei Anwesenheit von Massen die ganze Raumzeit auf einmal zu beschreiben.

Relativitätsprinzip

Eine krumme Raumzeit ist nicht mehr mit kartesischen Koordinaten beschreibbar. Stattdessen kann das Koordinatensystem, für das man die einsteinschen Feldgleichungen aufstellen will, nahezu beliebig gewählt werden. Es muss lediglich jedem Ereignis in Raum und Zeit 4 Parameter zuweisen. Diese Parameter müssen auf kleinen Raumgebieten, die der speziellen Relativitätstheorie gehorchen, hinreichend differenzierbare Funktionen der dort lokal definierbaren kartesischen Koordinaten sein, damit die Methoden der Differentialgeometrie für die krumme Raumzeit überhaupt angewendet werden können.

Damit gilt in der allgemeinen Relativitätstheorie ein deutlich erweitertes Relativitätsprinzip. Die Gesetze der Physik haben danach nicht nur in allen Inertialsystemen die gleiche Form, wie es in der speziellen Relativitätstheorie der Fall ist, sondern in beliebigen Koordinatensystemen.

Es folgt beispielsweise, dass selbst ein Beobachter auf einem rotierenden Drehschemel den Standpunkt vertreten kann, er selbst sei in Ruhe und der Kosmos rotiere um ihn herum. In der Tat beschreiben die einsteinschen Feldgleichungen auch diese Situation korrekt. In diesem rotierenden Koordinatensystem nimmt die Krümmung eine Form an, die tatsächlich die enormen Zentripetalkräfte zur Folge hat, die die Sterne bei ihrer Kreisbewegung um den Beobachter auf ihrer Bahn halten. Dass sich dabei die Sterne aus Sicht des rotierenden Beobachters mit vielfacher Lichtgeschwindigkeit bewegen, steht nicht im Widerspruch zur Theorie, da die Lichtgeschwindigkeit nur in der speziellen Relativitätstheorie als Grenze gilt, das heißt für hinreichend kleine Raumzeit-Bereiche, die die Kriterien für Inertialsysteme erfüllen. Aus der Sicht des rotierenden Beobachters können sich in einigen Lichtjahren Entfernung senkrecht zur Rotationsachse jedoch keine Sterne in Ruhe befinden, so dass sich nirgendwo Sterne lokal mit Überlichtgeschwindigkeit begegnen können. Ein Informations- beziehungsweise Materietransport von einem Stern zu einem anderen mit Überlichtgeschwindigkeit ist wie in der speziellen Relativitätstheorie unmöglich.

Obwohl es möglich ist, den Kosmos aus der Sicht eines rotierenden Beobachters zu beschreiben, sind die Gleichungen eines nicht-rotierendes Bezugssystems, in dem die meisten Objekte ruhen oder sich nur langsam bewegen, in der Regel einfacher. Im allgemeinen Fall wie beispielsweise eines Kugelsternhaufens aus Neutronensternen und Schwarzen Löchern, die sich auf allerengstem Raum umkreisen, so dass die Raumzeit hochgradig gekrümmt und zudem dynamisch ist, ist von vornherein kein Kandidat für ein ausgezeichnetes Koordinatensystem erkennbar. Das Relativitätsprinzip besagt für diesen allgemeinen Fall, dass es auch nicht nötig ist, danach zu suchen, weil alle Koordinatensysteme gleichberechtigt sind.

Äquivalenzprinzip

Bereits in der klassischen Mechanik war das Prinzip der Äquivalenz von träger und schwerer Masse bekannt. Es besagt in seiner klassischen Form, dass die schwere Masse, die angibt, wie stark die durch ein Gravitationsfeld an einem Körper erzeugte Kraft ist, und die träge Masse, die sagt, wie stark ein Körper durch eine Kraft beschleunigt wird, äquivalent sind. Dies bedeutet insbesondere, dass jeder Körper sich unabhängig von seiner Masse in einem Schwerefeld (bei Abwesenheit anderer Kräfte) gleich bewegt. So fallen beispielsweise im Vakuum alle Körper gleich schnell, und die geostationäre Bahn (die Bahn, in der ein Satellit für eine Erdumkreisung gerade einen Tag braucht, so dass der Satellit über der Erdoberfläche stillzustehen scheint) ist für schwere Satelliten wie für leichte Satelliten stets dieselbe.

Folge des klassischen Äquivalenzprinzips ist, dass ein Beobachter in einem geschlossenen Raum, ohne Information von außen, aus dem mechanischen Verhalten von Gegenständen im Raum nicht ablesen kann, ob er sich in Schwerelosigkeit oder im freien Fall befindet. Dieses Prinzip lässt sich auch in der ART verwenden und wurde von Einstein verallgemeinert. Das einsteinsche Äquivalenzprinzip besagt, dass ein Beobachter in einem geschlossenen Raum ohne Information von außen durch überhaupt kein Experiment feststellen kann, ob er sich in der Schwerelosigkeit befindet oder im freien Fall. Das bedeutet insbesondere, dass auch ein Lichtstrahl für einen Beobachter im freien Fall nicht gekrümmt erscheint, oder anders ausgedrückt, dass ein Beobachter, der im Gravitationsfeld ruht einen Lichtstrahl gekrümmt wahrnehmen muss, da er in Wirklichkeit die ganze Zeit gegen den freien Fall nach oben beschleunigt wird.

Es muss allerdings beachtet werden, dass dieses Prinzip nur lokal gilt: So wird ein unten (näher an der Erde) befindliches Objekt von der Erde stärker angezogen, als ein weiter oben befindliches. Ist der frei fallende Raum in vertikaler Richtung groß genug, so wird der Beobachter daher feststellen, dass Objekte, die sich weiter oben befinden, von denen, die sich weiter unten befinden, entfernen. Umgekehrt wird sich bei ausreichender horizontaler Ausdehnung des Raumes die Richtung der Erdanziehung merklich ändern, so dass der frei fallende Beobachter feststellen wird, dass weit auseinander gelegene Körper sich aufeinander zu bewegen. Ein ausgedehnter Körper wird also eine Kraft erfahren, die ihn in eine Richtung auseinanderzieht und in den dazu senkrechten Richtungen zusammendrückt. Anhand dieser Kraft, Gezeitenkraft genannt, kann er feststellen, dass er sich in einem Gravitationsfeld befindet. Daher muss das beobachtbare Raumgebiet und Zeitintervall hinreichend klein sein, damit dieser Effekt unterhalb der Nachweisgrenze bleibt (genauere Messgeräte bedingen entsprechend ein noch kleineres Raumgebiet und Zeitintervall).

In der ART folgt das Äquivalenzprinzip direkt aus der Beschreibung der Bewegung von Körpern. Da sich alle Körper entlang Geodäten der Raumzeit bewegen, kann ein Beobachter, der sich entlang einer Geodäte bewegt, nur dann eine Krümmung der Raumzeit feststellen, die er als Gravitationsfeld interpretiert, wenn das von ihm beobachtbare Raumzeitstück maßgeblich gekrümmt ist. In diesem Fall beobachtet er die oben genannten Gezeitenkräfte.

Direkte Tests der Gleichheit von schwerer und träger Masse wurden bereits von Eötvös ab 1890 vor der Entwicklung der Relativitätstheorie durchgeführt. Da das einsteinsche Äquivalenzprinzip auf dieser Gleichheit beruht, sind solche Tests geeignet, um die Allgemeine Relativitätstheorie zu widerlegen. Nicht zuletzt, weil die Gleichheit von schwerer und träger Masse auch für den eventuellen Nachweis einer fünften Naturkraft relevant ist, ist dieses Thema auch heute noch sehr aktuell, und es wurden viele entsprechende Experimente durchgeführt. Eötvös selbst konnte die Genauigkeit seiner Experimente im Laufe der Zeit so steigern, dass er die Gleichheit mit einer Genauigkeit von 10^-9 nachweisen konnte. Durch Experimente mit den Laserreflektoren, die bei Apollo-Missionen auf dem Mond aufgestellt worden waren, konnte Shapiro 1976 die Gültigkeit des Äquivalenzprinzips mit einer Genauigkeit von 10^-12 nachweisen. Adelberger et al. publizierten 1999 eine Arbeit, die dieses Prinzip mit einer Genauigkeit von 10^-13 bestätigt. Es sind neue Experimente geplant, die die Genauigkeit auf 10^-15 (TEPEE/GREAT:General Relativity Accuracy Test) oder gar bis zu 10^-18 (STEP: Satellite Test of the Equivalence Principle) steigern sollen.

Machsches Prinzip

Einstein war bei der Entwicklung der Relativitätstheorie stark von Ernst Mach und dessen, von Einstein so benannten, machschen Prinzip beeinflusst. Dieses Prinzip besagt, dass die Trägheitskräfte eines Körpers nicht von dessen Bewegung relativ zu einem absoluten Raum, sondern von dessen Bewegung relativ zu den anderen Massen im Universum abhängen. Die Trägheitskräfte sind nach dieser Auffassung also Resultat der Wechselwirkung der Massen untereinander und ein unabhängig von diesen Massen existierender Raum wird verneint. Demnach sollten beispielsweise Fliehkräfte rotierender Körper verschwinden, wenn das restliche Universum „mitrotiert“. Die Behandlung des Problems ist jedoch mathematisch sehr anspruchsvoll und bis heute Gegenstand von Forschungen. Es hat sich herausgestellt, dass dieses Prinzip nur unter der Annahme bestimmter kosmologischer Randbedingungen aus den einsteinschen Feldgleichungen folgt. So fand Kurt Gödel 1949 eine globale Lösung der Feldgleichungen, das so genannte Gödel-Universum, welche dem machschen Prinzip widerspricht. D. R. Brill und J. M. Cohen konnten hingegen 1966 für eine langsam rotierende dünnwandige Hohlkugel mit dem Durchmesser ihres Schwarzschild-Radius eine Näherungslösung der einsteinschen Feldgleichungen angeben, die das machsche Prinzip erfüllt.

Mathematische Beschreibung

Gekrümmte Raumzeit

Die mathematische Beschreibung einer krummen Raumzeit erfolgt mit den Methoden der Differentialgeometrie, die die Euklidische Geometrie des uns vertrauten flachen Raumes ablöst. Die gekrümmte Raumzeit wird dabei als Lorentz-Mannigfaltigkeit beschrieben. Auf einer solchen Mannigfaltigkeit werden in der Differentialgeometrie sogenannte Tensoren eingeführt, die Abbildungen darstellen, mit denen sich wichtige Eigenschaften der Mannigfaltigkeit beschreiben lassen.

Eine besondere Bedeutung kommt dabei dem sogenannten metrischen Tensor (kurz: Metrik) zu, der eine Art lokales Skalarprodukt der Raumzeit darstellt. Er ist also notwendig um Abstände und Winkel zu definieren. Ebenso bedeutend zur Beschreibung der Krümmung der Mannigfaltigkeit ist der riemannsche Krümmungstensor, der eine Kombination von ersten und zweiten Ableitungen des metrischen Tensors darstellt. Es können für jeden Punkt lokale Koordinaten gewählt werden, so dass alle ersten Ableitungen des metrischen Tensors in diesem Punkt verschwinden und der Krümmungstensor dort nur durch zweite Ableitungen des metrischen Tensor bestimmt ist.

Einsteinsche Feldgleichungen

Die einsteinschen Feldgleichungen stellen einen Zusammenhang zwischen einigen Krümmungseigenschaften der Raumzeit und dem so genannten Energie-Impuls-Tensor her, der insbesondere die lokale Massendichte beziehungsweise über $E=mc^{2}$ die Energiedichte enthält. Diese Grundgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie enthalten 10 unabhängige Komponenten, ähnlich wie eine Vektorgleichung aus 3 Komponenten besteht. Sie lauten

$R_{\mu \nu }-{\frac {R}{2}}\,g_{\mu \nu }+\Lambda \,g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,T_{\mu \nu }$.

Dabei ist $R_{\mu \nu }$ der Ricci-Krümmungstensor, $R$ der Ricci-Krümmungsskalar, $g_{\mu \nu }$ der metrische Tensor, $\Lambda$ die kosmologische Konstante, $T_{\mu \nu }$ der Energie-Impuls-Tensor, $c$ die Lichtgeschwindigkeit, $G$ die Gravitationskonstante und $\pi$ die Kreiszahl.

Die Feldgleichungen werden verwendet, um bei bekanntem Energie-Impuls-Tensor die Metrik zu bestimmen. Wenn man die Komponenten des Energie-Impuls-Tensors einsetzt, erhält man 10 gekoppelte Differentialgleichungen für die Komponenten der Metrik, denn der Krümmungstensor und die daraus abgeleiteten Größen sind Ableitungen der Metrik. Aufgrund ihrer Kompliziertheit ist es meist nicht möglich, exakte Lösungen für die Feldgleichungen zu finden sondern man muss Verfahren zum Finden einer Näherungslösung verwenden.

Die Feldgleichungen beinhalten keine Information über die Bewegung von Teilchen in der gekrümmten Raumzeit. Sie geben lediglich an, wie der Materie- und Energieinhalt sich auf die Krümmung der Raumzeit auswirkt. Für die andere Richtung der Wechselwirkung, also die Auswirkung der Raumzeitkrümmung auf die Dynamik der Teilchen, muss man die Bewegungsgleichungen betrachten. Außerdem steht nicht der ganze Krümmungstensor in den Feldgleichungen, sondern nur der abgeleitete Ricci-Krümmungstensor und der Ricci-Krümmungsskalar. Diese enthalten nicht alle Informationen über die Krümmung der Raumzeit. Ein Teil der Raumzeitkrümmung, die sogenannte Weyl-Krümmung ist also unabhängig vom Energie-Impuls-Tensor und damit von der Massen- und Energiedichte.

Die kosmologische Konstante $\Lambda$ wurde von Einstein zunächst lediglich eingeführt, um ein zeitlich stabiles Universum zu gewährleisten. Das Gleichgewicht, das er damit erreichte, erwies sich jedoch als instabiles Gleichgewicht. $\Lambda$ hat formal den Stellenwert einer Art Integrationskonstanten, und hat daher zunächst keinen bestimmten Zahlenwert, der direkt aus der Theorie folgen würde.

Bewegungsgleichungen

Die Bewegung von Körpern, auf die keine nicht-gravitativen Kräfte wirken, wird durch die sogenannten Geodätengleichungen der gekrümmten Raumzeit beschrieben. Dadurch wird ausgedrückt, dass sich Körper immer entlang einer Geodäten der Raumzeit bewegen, solange keine Kraft auf sie wirkt. Die Geodätengleichungen lauten

${\ddot {x}}^{\mu }+\Gamma _{\lambda \nu }^{\mu }{\dot {x}}^{\lambda }{\dot {x}}^{\nu }={\ddot {x}}^{\mu }+{\frac {g^{\mu \rho }}{2}}\left(\partial _{\lambda }g_{\nu \rho }+\partial _{\nu }g_{\lambda \rho }-\partial _{\rho }g_{\lambda \nu }\right){\dot {x}}^{\lambda }{\dot {x}}^{\nu }=0$

Dabei ist $\Gamma _{\lambda \nu }^{\mu }$ ein Christoffelsymbol, das die Abhängigkeit des metrischen Tensors vom Raumzeitpunkt, also die Raumzeitkrümmung, charakterisiert. Die $g^{\mu \rho }$ sind nicht, wie die $g_{\nu \rho }$, Komponenten des metrischen Tensors, sondern Komponenten des kometrischen Tensors. In der Formel wird außerdem eine Kurzschreibweise für Differentiale verwendet, nämlich die Schreibweise $\partial _{\mu }:={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}$
Auch eine Kurzschreibweise der Tensorrechnung wird verwendet, nämlich die sogenannte Summenkonvention, die besagt, dass über Indizes, die jeweils einmal oben und einmal unten stehend auftauchen, automatisch von 0 bis 3 summiert wird.

Man sieht, dass diese Geodätengleichungen sich erst lösen lassen, wenn der metrische Tensor bekannt ist. Diesen erhält man durch Lösen der einsteinschen Feldgleichungen. Betrachtet man nun eine nicht verschwindende Massen-Energiedichte, so erhält man mit den Feldgleichungen eine gekrümmte Raumzeit. Aufgrund der Geodätengleichungen kann dies zu einer Beschleunigung eines betrachteten Körpers führen, wodurch sich der Energie-Impuls-Tensor ändert. Dadurch ändert sich wiederum die Raumzeitkrümmung. Die Feldgleichungen und die Geodätengleichungen beschreiben also die beiden Richtungen der Wechselwirkung von Raum und Materie.

Betrachtet man nun einen Körper, auf den eine nicht-gravitative, zum Beispiel elektromagnetische, Kraft $K^{\mu }\$ wirkt, so lauten die Bewegungsgleichungen

$m{\ddot {x}}^{\mu }+m\Gamma _{\lambda \nu }^{\mu }{\dot {x}}^{\lambda }{\dot {x}}^{\nu }=m{\ddot {x}}^{\mu }+m{\frac {g^{\mu \rho }}{2}}\left(\partial _{\lambda }g_{\nu \rho }+\partial _{\nu }g_{\lambda \rho }-\partial _{\rho }g_{\lambda \nu }\right){\dot {x}}^{\lambda }{\dot {x}}^{\nu }=K^{\mu }$

wobei m die Masse des Teilchens ist.

Dabei berechnen sich die Kräfte im allgemeinen etwas anders, als in der speziellen Relativitätstheorie. In den Formeln für die Kräfte muss man anstelle der partiellen Ableitungen nach Raumzeitkomponenten nun kovariante Ableitungen in den Bewegungsgleichungen verwenden. Da die Ableitungen nach Raumzeitkomponenten die Änderungen einer Größe beschreiben, heißt das, dass die Änderungen aller Felder (also ortsabhängige Größen) sinnvollerweise in der gekrümmten Raumzeit beschrieben werden. Welche Ersetzungen genau in den Formeln gemacht werden müssen, ist dem Artikel Christoffelsymbole zu entnehmen.

Wirkung

Um die einsteinsche Feldgleichung mittels des Prinzips der kleinsten Wirkung herzuleiten, muss man eine Wirkung finden, durch deren Variation man die Feldgleichungen reproduzieren kann. Die Wirkung der ART ist durch das sogenannte Einstein-Hilbert-Funktional gegeben, das erstmals von David Hilbert angegeben wurde:

${\mathcal {S}}_{g}=\int R\cdot vol=\int R\cdot {\sqrt {-\det {g}}}$

Dabei ist $R$ wieder der Ricci-Krümmungsskalar, $g$ ist der metrische Tensor und $vol={\sqrt {-\det {g}}}$ heißt die Volumenform.

Die Forderung, dass die Variation der Wirkung $\delta {\mathcal {S}}_{g}$ für jede Variation der Metrik $\delta g\$ verschwindet, liefert zunächst einmal nur die Gleichungen

$R_{\mu \nu }-{\frac {R}{2}}\,g_{\mu \nu }=0$

Die kosmologische Konstante $\Lambda$ erhält man, wenn man als Randbedingung ansetzt, dass auch die Variation des Volumenfunktionals $V=\int vol$ verschwinden soll. Dabei verwendet man die Methode der Lagrange-Multiplikatoren, wobei die kosmologische Konstante $\Lambda$ dem Lagrange-Multiplikator entspricht. Die rechte Seite der Feldgleichungen, also die Komponenten des Energie-Impuls-Tensors, erhält man indem man zusätzlich die Terme, die Materie- und Energiedichte beschreiben, zur Wirkung hinzunimmt.

Die mathematische Definition einer Einstein-Mannigfaltigkeit fordert nur, dass die Variation des Einstein-Hilbert-Funktionals für jede Variation der Metrik verschwindet.

Physikalische Auswirkungen

Die einsteinschen Feldgleichungen folgen nicht zwingend aus dem Äquivalenzprinzip, sondern sie sind nur die einfachste Form einer Gravitationstheorie, welche auf dem Äquivalenzprinzip aufbaut. Es gibt mathematisch kompliziertere Theorien, die auch das Äquivalenzprinzip erfüllen. Sie ergeben sich beispielsweise, indem man den einsteinschen Gleichungen kovariante Terme mit höheren Ableitungen der Metrik hinzufügt. Eine bekannte Alternativtheorie ist auch die Brans-Dicke-Theorie. Zur Bestätigung der ART reicht es deshalb nicht aus, Experimente durchzuführen, mit denen man zwischen der ART und der newtonschen Mechanik entscheiden kann. Es ist letztlich auch nötig, experimentell zwischen der ART und anderen Gravitationstheorien zu entscheiden. Abweichungen von den Vorhersagen der ART könnten auch ein neuer Anstoß zur Entwicklung einer schlüssigen und experimentell überprüfbaren Quantentheorie der Raumzeit sein. Schlussendlich verlieren die Allgemeine Relativitätstheorie und die gegenwärtige Quantentheorie, zwei Grundpfeiler der heutigen Physik, in sehr kleinen Längenbereichen (Planck-Länge) ihre Anwendbarkeit. Um beide Theorien zu vereinen, wird schon seit einiger Zeit an einer Quantentheorie der Gravitation gearbeitet (siehe auch TOE).

Lichtablenkung

Klassische Berechnung der Lichtablenkung

Hier soll beispielhaft die Ablenkung eines Photons im Rahmen der überholten Newtonschen Mechanik berechnet werden.

Wie der Quelle [[1]] zu entnehmen ist, kann als Lösung des Zweikörperproblem der Abstand $r$ der beiden Körper aus der Newtonsche Mechanik als

$r={\frac {\ell ^{2}/GM}{1+e\cos \theta }}$

hergeleitet werden, wobei G die Gravitationskonstante, M die Masse der Sonne,

${\ell }=r^{2}{\dot {\theta }}$

der massenspezifische Drehimplus des Photons und e ein frei wählbarer Parameter sind. Angegeben ist hier die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung. Die Lösungen sind immer als Kegelschnitte zu beschreiben. Für e kleiner eins sind die Bahnen Ellipsen, für e gleich null Kreise, für e gleich eins Parabeln und für e größer als eins Hyperbeln. In der angebenen Quelle wird diese Formel aus dem Kraftgesetz mathematisch exakt hergeleitet. Wir brauchen nur den Spezialfall einer Hyperbelbahn zu betrachten, da Photonen von der Sonne aufgrund ihrer geringen Masse nicht auf elliptische Umlaufbahnen gezwungen werden können. Der Abstand konvergiert für die Asymtoten gegen unendlich. Dies ist der Fall wenn

${1+e\ \cos \theta }=0.$

Im asymtotischen Fall ist die Geschwindigkeit gleich der Ableitung von $r$ nach der Zeit, da die Bewegung in Richtung auf die Sonne oder entgegengesetzt gerichtet ist.

Zur Berechnung der Ableitung ist der Ausdruck nach der Kettenregel zunächst nach dem Winkel zu differenzieren. Über die Beziehung $\ell =r^{2}{\dot {\theta }}$ kann die Winkelgeschwindigkeit durch den Drehimpuls und den Radius $r$ ausgedrückt werden. Der Drehimpuls ist schließlich durch Geschwindigkeit mal dem Abstand b der asymtotischen Geraden von der Sonne gegeben.

${\dot {r}}=v_{0}={\left({\frac {GM}{v_{0}*b}}\right)}*\tan {\theta },$

wobei $v_{0}={\dot {r}}$ die asymtotische Geschwindigkeit gleich der Lichtgeschwindigkeit c ist. Für kleine Winkel im Bogenmaß gilt $\tan {\theta }\approx \theta$.

Damit ergibt sich schließlich der Winkel $\theta$ schließlich aus dem Schwarzschildradius $r_{S}={\frac {GM}{c^{2}}}$ zur Asymtoten

$\theta ={\left({\frac {b}{r_{S}}}\right)}.$

Die Winkeländerung des Sterns ist $2\theta$, der Winkel zwischen den beiden Asymtoten. Eine Asymtote ist die Bahn des einlaufenden Photons in großer Entfernung, die andere die des Photons nach Passage der Sonne in großer Entfernung. Zur Umrechnung in Bogensekunden ist der Faktor $3600*{\frac {180}{\pi }}$ zu berücksichtigen. Die Zahlenwerte für den Schwarzschildradius (Gravitationsradius) und b, der Sonnenradius, können im Artikel über die Sonne nachgeschlagen werden.

Die Lichtablenkung kann also bereits rein klassisch ohne jede Relativitätstheorie als Hyperbelbahn eines Teilchens berechnet werden, das die Sonne mit Lichtgeschwindigkeit passiert. Im Fall des Photons ist die Annäherungsgeschwindigkeit gleich der Lichtgeschwindigkeit zu setzen. Die Masse oder Frequenz des Photons beeinflusst seine Bahn nicht.

Als Ergebnis der klassischen Berechung ist der halbe Winkel im Bogenmaß gerade durch das Verhältnis des Radius der Sonne zu ihrem Gravitationsradius gegeben. Die Lichtablenkung in Bogensekunden errechnet sich folglich zu

$2*3600*{\frac {180}{\pi }}*{\frac {2,95}{696.000}}=1,75.$

Mit anderen Worten, die beobachte Ablenkung des Lichts weicht innerhalb der Messgenauigkeit nicht von der ohne Berücksichtigung jeder Relativitätstheorie berechneten Bahn eines Teilchen mit Lichtgeschwindigkeit ab.

Schwache, zeitunabhängige Gravitationsfelder

Für schwache, zeitunabhängige Gravitationsfelder erhält man als Näherung für die Metrik

$g={\begin{pmatrix}1+2\phi (x)&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}$

Die Näherung lässt sich zum Beispiel gut an der Oberfläche eines Sterns verwenden, an der Oberfläche eines sehr viel dichteren Neutronensterns ist sie jedoch nicht so gut anwendbar und es gibt messbare Abweichungen. Bei der Anwendung auf einen Stern ist $\phi (x)=-{\frac {Gm}{c^{2}r}}$ das Gravitationspotential, wobei r der Abstand von x zum Mittelpunkt des Sterns, m die Masse des Sterns, G die newtonsche Gravitationskonstante und c die Lichtgeschwindigkeit ist.

Mit dieser Näherung lässt sich anschaulich die Lichtablenkung durch Gravitation als Brechungseffekt interpretieren. Dazu muss man sich überlegen, was die reale Zeit an einem Raumzeitpunkt ist. Wir definieren für ein winziges Zeitintervall $d\tau$:

$d\tau ={\frac {\sqrt {g_{00}(x)}}{c}}dx^{0}$

als die von einem Beobachter am Raumzeitpunkt x gemessene reale Zeit oder Eigenzeit. Betrachten wir jetzt einen Lichtstrahl, der sich in $x^{1}$-Richtung bewegt, so ist seine reale Geschwindigkeit ${\frac {dx^{1}}{d\tau }}=c$ die Vakuumlichtgeschwindigkeit und seine gemessene Geschwindigkeit ist $c{\frac {dx^{1}}{dx^{0}}}$. Sie stehen nach der obigen Definition der Eigenzeit in folgendem Zusammenhang

$c{\frac {dx^{1}}{dx^{0}}}={\sqrt {g_{00}(x)}}{\frac {dx^{1}}{d\tau }}\approx {\frac {c}{1-\phi (x)}}$

Wenn man beachtet, dass $\phi$ ein anziehendes Gravitationspotential, also negativ ist, erkennt man, dass die gemessene Geschwindigkeit des Lichtstrahls kleiner ist, als die Vakuumlichtgeschwindigkeit. Man kann also das Gravitationsfeld in dieser Betrachtung als Medium mit dem ortsabhängigen Brechungsindex $n(x)\approx 1-\phi (x)$ interpretieren. Da sich Licht entlang von Geodäten ausbreitet, lässt sich dies also auch so formulieren, dass nahe einer Masse die Geodäten im Raum gekrümmt sind.

Am Sonnenrand ist $\phi =-10^{-6}$ woraus sich als Brechungsindex $n=1,000.001$ ergibt. Der Effekt ist also im Vergleich zur gewöhnlichen optischen Brechung sehr klein. Dementsprechend klein ist auch der Winkel der Lichtablenkung im Gravitationsfeld.

Die erste gezielte experimentelle Überprüfung der allgemeinen Relativitätstheorie, die in der Öffentlichkeit großes Aufsehen erregte und die allgemeine Relativitätstheorie berühmt machte, wurde 1919 durchgeführt und überprüfte die Voraussage der allgemeinen Relativitätstheorie, dass Licht, wie jede elektromagnetische Strahlung, in einem Gravitationsfeld abgelenkt wird. Dabei wurde eine Sonnenfinsternis ausgenutzt, um die scheinbare Verschiebung der Position eines Sternes nahe der Sonnenscheibe zu messen, da hier der Effekt am stärksten sein sollte. Die Voraussage der Einstein'schen Theorie, dass Sternenlicht, das auf seinem Weg zur Erde den Rand der Sonnenscheibe streift, um 1,75 Bogensekunden abgelenkt werden sollte, wurde bei dieser ursprünglichen Messung mit einer Abweichung von 20 % bestätigt. Die aus der Newtonschen Gravitationstheorie folgende Ablenkung wäre nur 0,83" gewesen, wie bereits 1804 von Johann Soldner berechnet wurde .

Gravitationslinse — Prinzipdarstellung

Ähnliche Messungen wurden später mit verbesserten Instrumenten durchgeführt. In den 1960ern wurden die Positionen von Quasaren vermessen, womit eine Genauigkeit von 1,5 % erreicht wurde, während ähnliche Messungen mit dem VLBI (Very Long Baseline Interferometry) später die Genauigkeit auf 0,2 % steigerten. Auch wurden die Positionen von 10⁵ Sternen durch den ESA-Satelliten Hipparcos vermessen, womit die Voraussagen der ART auf 0.1 % genau überprüft werden konnten. Auf Ablenkung von Licht im Gravitationsfeld beruht auch der in der Astronomie beobachtete Gravitationslinseneffekt. Die ESA-Raumsonde Gaia, welche bis 2012 gestartet werden soll, soll die Position von über einer Milliarde Sterne vermessen und damit die Raumkrümmung noch exakter bestimmen.

Periheldrehung

Hauptartikel: Apsidendrehung

Die Periheldrehung der Bahn eines Planeten. Die Exzentrizität der Bahn und der Betrag der Drehung sind schematisch übertrieben.

Von der Relativitätstheorie wird auch die Periheldrehung der Bahnen von Planeten um die Sonnen vorausgesagt. Bereits 1854 wurde durch Urbain-Jean-Joseph Le Verrier erkannt, dass die Bahn des Merkur eine Periheldrehung von etwa 0,1 Bogensekunden pro Umlauf aufweist, was nicht allein auf die Störung durch andere Planeten zurückzuführen ist. Der fehlende Anteil der Periheldrehung konnte durch die Relativitätstheorie erklärt werden, was ein erster Erfolg für diese Theorie war. Auch die gemessenen Fehlbeiträge zur Periheldrehung anderer Planeten sowie auch des Kleinplaneten Icarus stimmen mit theoretischen Berechnungen gemäß der Relativitätstheorie überein. Die sich in der Planung befindende europäisch-japanische Merkursonde BepiColombo soll es ermöglichen, die Bewegung des Merkur mit bisher unerreichter Genauigkeit zu bestimmen und damit Einsteins Theorie noch genauer zu testen.

Gravitative Zeitdilatation und Rotverschiebung

Die gravitative Zeitdilatation ist streng genommen kein Effekt der ART, sondern folgt bereits aus der speziellen Relativitätstheorie und dem Äquivalenzprinzip der ART. Wenn man eine in einem Gravitationsfeld ruhende Uhr betrachtet, muss sie durch eine Gegenkraft in Ruhe gehalten werden, wie der Jongleur im ersten Beispiel. Sie wird also fortwährend beschleunigt, so dass man die Formel für die Zeitdilatation in einem beschleunigten Bezugsystem aus der speziellen Relativitätstheorie benutzen kann. Dies hat zur Folge, dass der Effekt nicht symmetrisch ist, wie man es von zwei gleichförmig bewegten Bezugsystemen in der speziellen Relativitätstheorie kennt. Ein Beobachter im Weltall sieht also die Uhren auf der Erde langsamer gehen, als seine eigene Uhr. Umgekehrt, sieht ein Beobachter auf der Erde Uhren im Weltall schneller gehen als seine eigene Uhr.

Gravitative Rotverschiebung einer Lichtwelle

Eine direkte Folge der Zeitdilatation ist die gravitative Rotverschiebung: Licht, das von einer Lichtquelle mit einer gegebenen Frequenz nach oben (also vom Gravitationszentrum weg) ausgestrahlt wird, wird dort mit einer geringeren Frequenz gemessen, ähnlich wie beim Doppler-Effekt. Das bedeutet also insbesondere, dass bei einem Lichtsignal mit einer bestimmten Anzahl von Schwingungen der zeitliche Abstand zwischen dem Beginn und dem Ende des Signals beim Empfänger größer ist als beim Sender. Dies wird durch die gravitative Zeitdilatation verständlich.

Aufgrund der gravitativen Zeitdilatation ist das Zeitintervall zwischen Anfang und Ende der Lichtwelle umso länger, je weiter nach oben man sich im Gravitationsfeld bewegt, weil die Zeit zunehmend schneller verstreicht. Das bedeutet, dass die Welle bei ihrer Bewegung nach oben immer länger gemessen wird. Daher muss auch der Abstand zwischen den einzelnen Wellenbergen immer mehr wachsen, so dass das Licht also immer langwelliger, also energieärmer erscheint.

Die gravitative Rotverschiebung wurde von Einstein bereits 1911 vor Fertigstellung der allgemeinen Relativitätstheorie vorausgesagt und kann bereits aus der Energieerhaltung hergeleitet werden, so dass ihre experimentelle Bestätigung zwar notwendige Voraussetzung für die Gültigkeit der ART ist, aber andererseits nicht sehr große Aussagekraft hat. Von W. S. Adams wurde 1925 die Rotverschiebung am Weißen Zwerg Sirius B nachgewiesen. Die Messung der gravitativen Rotverschiebung an weißen Zwergen ist aber schwierig von der Rotverschiebung durch die Eigenbewegung zu unterscheiden, und die Genauigkeit ist begrenzt. Robert Pound und Glen Rebka wiesen 1962 mit Hilfe des Mößbauer-Effektes die gravitative Rotverschiebung der Strahlung einer Gammaquelle im Erdgravitationsfeld bei einem Höhenunterschied von nur 25 m mit ausreichender Genauigkeit nach. Spätere Verbesserungen (Pound-Rebka-Snider Experiment) erreichten eine Genauigkeit von etwa 1,5 %. Die gravitative Rotverschiebung wurde mittels Raumsonden auch für die Sonne und den Saturn nachgewiesen. Der geplante Satellit OPTIS soll, neben anderen Tests zu speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie, die gravitative Rotverschiebung mit einer Genauigkeit von 10^-5 testen.

Die Entwicklung von Atomuhren hat es möglich gemacht, den Einfluss der Gravitation auf die Zeit auch direkt zu messen. Im Prinzip ist diese Messung eine Variation der Nachweise der gravitativen Rotverschiebung. 1971 wurde durch J. Hafele und R. Keating mit Caesiumuhren in Flugzeugen der durch die Gravitation verursachte Gangunterschied von Uhren in verschiedenen Höhen gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie mit etwa 10 % Genauigkeit eindeutig nachgewiesen. Durch ein ähnliches Experiment von C. Alley (Maryland-Experiment) konnte die Genauigkeit 1976 auf 1 % gesteigert werden. R. Vessot und M. Levine publizierten 1979 Ergebnisse eines ähnlichen Experiments mit Hilfe von Raketen und gaben eine Genauigkeit von 0,02 % an. Beim heutigen satellitengestützten GPS-Navigationssystem müssen sowohl Korrekturen gemäß der speziellen als auch der allgemeinen Relativitätstheorie berücksichtigt werden, wobei Effekte durch die allgemeine Relativitätstheorie überwiegen. Umgekehrt kann dies auch als Bestätigung dieser Theorien angesehen werden.

Sowohl die Periheldrehung von Planetenbahnen als auch die Ablenkung und die Rotverschiebung von Licht im Gravitationsfeld sind Voraussagen der allgemeinen Relativitätstheorie, auf denen die drei so genannten klassischen Tests der ART beruhen.

Als vierter klassischer Test wird oft der Shapiro-Test bezeichnet, der von I. I. Shapiro erstmals 1970 durchgeführt wurde. Hier wurde die Zeitverschiebung von an der Venus reflektierten Radarsignalen gemessen, während diese sich von der Erde aus hinter der Sonne befand, so dass die Radarwellen nahe am Sonnenrand passieren mussten. Die Genauigkeit der Messungen belief sich anfangs noch auf mehrere Prozent. Bei wiederholten Messungen und später auch durch Messungen mit Hilfe von Raumsonden (Mariner, Viking) anstelle der Venus konnte die Genauigkeit auf 0,1 % gesteigert werden.

Ausbreitung der Gravitation und Gravitationswellen

Um zu gewährleisten, dass für jedes Bezugssystem dieselben Gravitationseffekte auftreten, muss sich die Gravitation lokal mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Dies folgt bereits aus der speziellen Relativitätstheorie, nach der sich keine Information mit Überlichtgeschwindigkeit ausbreiten kann.

Die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit der Gravitation führt jedoch zur Frage der Aberration, die man bei endlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit der Gravitation nach dem newtonschen Gravitationsgesetz erwarten würde. Es handelt sich dabei um den Effekt, dass die Umlaufbahnen der Planeten instabil werden, wenn die Gravitationskraft immer auf einen vergangenen Aufenthaltsort des anziehenden Körpers zeigt. In der ART tritt dieser Effekt jedoch nicht auf, weil durch die Veränderung des Gravitationsgesetzes gegenüber dem newtonschen Gravitationsgesetz geschwindigkeitsabhängige Anteile des Gravitationsfeldes hervorgerufen werden, die den Aberrationseffekt fast genau kompensieren. Die Abweichung kann als Effekt von Gravitationswellen verstanden werden, die zu einer Verkleinerung der Bahnradien führen können.

Diese Aufhebung ist jedoch kein Zufall, sondern eine direkte Folge von Drehimpuls- und Energieerhaltung. Diese müssen erfüllt sein, da die Wirkung invariant unter Lorentztransformationen ist.

Zweidimensionale Darstellung von Gravitationswellen, die von zwei einander umkreisenden Neutronensternen ausgesandt werden.

Die erwähnten Gravitationswellen sind von der allgemeinen Relativitätstheorie vorhergesagte Transversale Wellen. Sie wären dadurch beobachtbar, dass sich quer (transversal) zu ihrer Ausbreitungsrichtung der Raum periodisch ausdehnt und zusammenzieht.

Bisher konnten sie trotz intensiver Forschungen seit Anfang der 1960er, wie beispielsweise mit dem Gravitationswellenempfänger von Weber mit einer schwingenden zylindrischen Aluminium-Masse, die durch Gravitationswellen in Schwingung versetzt würde, noch nicht direkt nachgewiesen werden. Zwar wurde 1969 behauptet, es seien Signale aus dem Zentrum der Milchstraße empfangen worden, was aber nicht bestätigt werden konnte.

Allerdings wurden Gravitationswellen inzwischen indirekt durch Messung der Verlangsamung der Bahnperiode des Pulsars PSR 1913+16, der Teil eines Doppelsternesystems mit einem anderen Neutronenstern oder einem Weißen Zwerg als Partner ist, nachgewiesen. Ähnlich konnte dies in einer Langzeitbeobachtung bis März 2005 (zusammen mit 3 weiteren Aussagen der ART) an dem aus zwei Pulsaren bestehenden Doppelsternsystem J0737-3093 bestätigt werden, die sich nach resultierenden Berechnungen durch die Aussendung von Gravitationswellen täglich um 7 mm annähern. Die entsprechende Verlangsamung stimmt in beiden Fällen exakt mit dem von der allgemeinen Relativitätstheorie berechneten Verzögerungswert überein, wenn man annimmt, dass Energie in Form von Gravitationswellen abgestrahlt wird.

Obwohl die ursprüngliche Technik mit schwingungsfähigen Massen inzwischen stark verbessert wurde und heute viel empfindlicher ist, verwenden viele neuere Experimente interferometrische Techniken (Michelson-Interferometer) zum Nachweis von Gravitationswellen. Ein Grund dafür ist, dass die schwingenden Massen nur durch Frequenzen nahe ihrer Resonanzfrequenz gut messbar angeregt werden können und bei einem Interferometer die Frequenz der Welle nicht so entscheidend ist.

Ein irdisch basiertes System ist das deutsch-britische System GEO 600 nahe Hannover, welches ein Michelson-Interferometer mit einer Armlänge von 600 m ist. Ein satellitengestütztes System soll das ESA/NASA-Projekt LISA (Laser Interferometer Space Antenna, Starttermin: 2010) werden. LISA besteht aus drei einzelnen Raumsonden, welche in einem Dreieck im Abstand von mehreren Millionen Kilometern im All stationiert werden sollen. Andere Projekte zum Nachweis sind TAMA (Japan), LIGO (USA) und VIRGO (Italien).

Schwarze Löcher

Hauptartikel: Schwarzes Loch

Die ART sagt voraus, dass ein Körper mit extrem hoher Dichte schließlich so dicht werden kann, dass er die Raumzeit so stark krümmt, dass kein Licht und damit auch keine Materie mehr entkommen kann. Ein solches Objekt wird als Schwarzes Loch bezeichnet und wurde erstmals durch die Schwarzschild-Metrik beschrieben. Die Oberfläche, bei deren Überschreiten ein Lichtstrahl nicht mehr entkommen kann, wird als Ereignishorizont bezeichnet. Da ein schwarzes Loch kein Licht aussenden oder reflektieren kann, ist es unsichtbar und kann nur indirekt über die Effekte der enormen Raumzeitkrümmung beobachtet werden.

Die Existenz von schwarzen Löchern gilt inzwischen als empirisch gesichert, obwohl es keine direkten Beobachtungen solcher Objekte gibt. So wird inzwischen angenommen, dass sich in den Zentren der meisten Galaxien supermassive schwarze Löcher befinden. Die Beobachtung sogenannter Materie-Jets sowie die Messung der Umlaufzeiten zentrumsnaher Sterne sind klare Hinweise auf solche schwarze Löcher.

Lense-Thirring-Effekt

Hauptartikel: Lense-Thirring-Effekt

Im Jahr 1918 wurde von dem Mathematiker Josef Lense und dem Physiker Hans Thirring der nach ihnen benannte Lense-Thirring-Effekt (auch Frame-Dragging-Effekt) theoretisch vorhergesagt. Der Effekt beschreibt die Beeinflussung des lokalen Inertialsystems durch eine rotierende Masse, was man sich vereinfacht so vorstellen kann, dass die rotierende Masse die Raumzeit um sich herum wie eine zähe Flüssigkeit geringfügig mitzieht und dadurch verdrillt.

Derzeit wird noch diskutiert, ob den Wissenschaftlern um Ignazio Ciufolini von der Universität Lecce und Erricos Pavlis von der University of Maryland in Baltimore im Jahr 2003 der experimentelle Nachweis des Effektes gelungen ist. Sie vermaßen dafür die Bahnen der geodätischen Satelliten LAGEOS 1 und 2 präzise, da deren Position und Lage von der Masse der sich drehenden Erde beeinflusst werden sollte. Aufgrund möglicher Fehlerquellen durch das uneinheitliche Schwerefeld der Erde ist umstritten, ob die zentimetergenauen Positionsbestimmungen der LAGEOS-Satelliten ausreichten, um diesen relativistischen Effekt nachzuweisen.

Der NASA-Satellit Gravity Probe B, gestartet im April 2004, ist mit mehreren präzisen Gyroskopen ausgestattet, welche den Effekt sehr viel genauer vermessen können. Zur Messung des Effektes werden bei diesem Satellit die Änderungen der Drehrichtungen von vier Gyroskopen bestimmt.

Kosmologie

Die Kosmologie ist ein Teilgebiet der Astrophysik, das sich mit dem Ursprung und der Entwicklung des Universums befasst. Da die Entwicklung des Universums maßgeblich durch die Gravitation bestimmt ist, ist die Kosmologie eines der Hauptanwendungsgebiete der ART. In der Kosmologie wird das Universum auf großen Skalen als homogen und isotrop angenommen. Mit Hilfe dieser Symmetrien vereinfachen sich die Feldgleichungen der ART zu den Friedmann-Gleichungen. Die Lösung dieser Gleichungen für ein Universum mit Materie implizieren stets eine Expansion des Universums. Dabei ist das Vorzeichen der Skalarkrümmung auf kosmischer Skala entscheidend für die Entwicklung eines expandierenden Universums.

Bei einer positiven Skalarkrümmung wird das Universum zunächst expandieren und sich dann wieder zusammenziehen, bei verschwindender Skalarkrümmung wird die Expansionsgeschwindigkeit einen festen Wert annehmen und bei negativer Skalarkrümmung wird das Universum beschleunigt expandieren

Einstein fügte 1917 die kosmologische Konstante in die Feldgleichungen ein, um ein Modell eines statischen Kosmos zu ermöglichen. Die kosmologische Konstante kann je nach Wahl die kosmische Expansion verstärken oder kompensieren.

Messungen der Expansion des Universums haben innerhalb der Fehlergrenzen eine verschwindende Skalarkrümmung ergeben. Allerdings geht man aufgrund von Beobachtungen der kosmischen Expansion und der Hintergrundstrahlung davon aus, dass das Universum beschleunigt expandiert, was mit einer kleinen positiven kosmologischen Konstante erklärt wird.

Noch ausstehende Probleme

Messungen der Bewegungen von Objekten wie Sternen oder Galaxien, die unter dem Einfluss eines Gravitationsfeldes von galaktischen und intergalaktischen Dimensionen stehen, zeigen generell eine Abweichung von der Bewegung, welche nach einem gemäß der ART berechneten Gravitationsfeld zu erwarten ist, wenn man nur von der sichtbaren Materie ausgeht. Dies wird bisher aber allgemein auf Anwesenheit von Dunkler Materie und nicht auf ein Versagen der ART zurückgeführt, obwohl es auch Vorschläge gibt, diese Diskrepanzen durch alternative Gravitationstheorien , wie die Modifizierte Newtonsche Dynamik zu erklären. Auch wurden bei Raumsonden wie etwa Pioneer 10 und 11, welche sich in den äußeren Bereichen des Sonnensystems bewegen, kleine, aber bisher unerklärliche Abweichungen der Bahnen entdeckt, die sogenannte Pioneer-Anomalie.

Es gibt noch keine vollständige Quantenfeldtheorie der Gravitation, die eine Vereinigung der ART mit der Quantenfeldtheorie darstellen würde. Eine solche Theorie ist bedeutend um damit kleinste Raumbereiche bei sehr starker Krümmung und das Verhalten von Elementarteilchen in solchen Gebieten, also bei sehr großen Energiedichten beschreiben zu können. Die aktuell (2006) am meisten diskutierten Ansätze zur Lösung dieses Problems sind die Stringtheorie und die Schleifenquantengravitation. Es existiert jedoch eine Vielzahl weiterer Modelle, die allerdings nicht so populär sind.

Geschichte

Die Aufstellung der Feldgleichungen

Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie wurden fast ausschließlich von Einstein entwickelt. Er stützte sich jedoch auf die Vorarbeit vieler anderer. So gibt er Überlegungen von Ernst Mach als Grundlage seiner Überlegungen an. Weiterhin verwendete er die von Carl Friedrich Gauß, Bernhard Riemann, Elwin Bruno Christoffel, Gregorio Ricci-Curbastro und Tullio Levi-Civita entwickelte Differentialgeometrie, die Marcel Grossmann, ein mit ihm befreundeter Mathematiker, für ihn aufbereitete. Außerdem verwendete er die maßgeblich von Hermann Minkowski entwickelte mathematische Formulierung der speziellen Relativitätstheorie, die vom Konzept der Raumzeit Gebrauch machte.

Die erste Veröffentlichung, die der allgemeinen Relativitätstheorie zugerechnet werden kann, ist eine 1908 veröffentlichte Arbeit Einsteins über den Einfluss von Gravitation und Beschleunigung auf das Verhalten von Licht in der speziellen Relativitätstheorie, in der er bereits das Äquivalenzprinzip formuliert und die gravitative Zeitdilatation und Rotverschiebung sowie die Lichtablenkung durch massive Körper vorhergesagt wird. Der Hauptteil der Theorie wurde aber erst in den Jahren von 1911 bis 1915 hauptsächlich von Einstein erarbeitet. Den Beginn seiner Arbeit markiert dabei eine zweite Veröffentlichung zur Wirkung der Gravitation auf Licht im Jahr 1911, in der Einstein seine Veröffentlichung von 1908 aufarbeitet.

Bevor er die Arbeit abschloss, veröffentlichte Einstein 1913 einen Entwurf für die Relativitätstheorie, der bereits eine gekrümmte Raumzeit beinhaltete. Aufgrund von Problemen mit dem Prinzip der generellen Kovarianz, das sich letztlich doch als richtig erwies, verfolgte Einstein jedoch in der Folgezeit einen falschen Ansatz, bevor er das Problem letztlich 1915 lösen konnte. Er hielt während seiner Arbeit auch Vorträge darüber und tauschte sich mit Mathematikern, namentlich Marcel Grossmann und David Hilbert, aus.

Oktober 1915 veröffentlichte Einstein eine Arbeit über die Periheldrehung des Merkur, in der er noch von falschen Feldgleichungen ausging, welche inkonsistent mit lokaler Erhaltung von Energie und Impuls waren. Im November 1915 fanden Einstein und Hilbert die richtigen Feldgleichungen, wobei unklar ist, wer von den beiden sie als erster fand. Ebenso unklar ist, inwiefern es einen schriftlichen Austausch zwischen den beiden gab. Hilberts Artikel wurde fünf Tage vor Einsteins Artikel eingereicht, doch erst nach diesem veröffentlicht. Einsteins Artikel, der als das Kernstück der ART aufgefasst werden kann, wurde am 20. März 1916 in den Annalen der Physik veröffentlicht.

Ein Beitrag zur ART, der jedoch eindeutig Hilbert zugeordnet werden kann, ist das Wirkungsfunktional der ART, das Hilberts Ansatzpunkt zur Herleitung der Feldgleichungen in seinem 1916 veröffentlichten Artikel war.

Exakte Lösungen der Feldgleichungen

Nach der Aufstellung der Feldgleichungen wurde nach Lösungen dafür unter verschiedenen Randbedingungen gesucht. Die erste exakte Lösung der Feldgleichungen ist die bereits 1916 von Karl Schwarzschild gefundene und nach ihm benannte Schwarzschild-Metrik, die zur Beschreibung von schwarzen Löchern herangezogen wird. Sie wurde 1916 von Hans Reissner und 1918 von Gunnar Nordström zur nach ihnen benannten Reissner-Nordström-Metrik weiterentwickelt, mit der sich elektrisch geladene schwarze Löcher beschreiben lassen.

1963 fand Roy Kerr die nach ihm benannte Kerr-Metrik mit der sich die Raumzeit nahe einem rotierenden schwarzen Loch beschreiben lässt. Die Erweiterung auf elektrisch geladene und rotierende schwarze Löcher ist die 1965 gefundene Kerr-Newman-Metrik.

Als Einstein erkannte, dass die Feldgleichungen kein kosmologisches Modell eines statischen Universums ermöglichen, führte er 1917 die kosmologische Konstante ein. 1922 fand Alexander Friedmann eine Lösung der Feldgleichungen ohne kosmologische Konstante, welche ein expandierendes oder kontrahierendes Universum zuließ und 1927 fand Georges Lemaître eine exakte Lösung für ein expandierendes Universum. Als Edwin Hubble 1929 seine Beobachtungen zur Rotverschiebung veröffentlichte und damit einen Beleg für die Expansion des Universums erbrachte, verwarf Einstein die kosmologische Konstante und bezeichnete sie George Gamow zufolge als seine "größte Eselei". In der modernen Astronomie wird jedoch die Möglichkeit einer nicht verschwindenden kosmologischen Konstante in Betracht gezogen.

Die Robertson-Walker-Metrik ist eine Weiterentwicklung von Lemaîtres Lösung, die Howard Percy Robertson 1935 und Arthur Geoffrey Walker 1936 unabhängig von einander formulierten. Auch sie ist eine exakte Lösung der Feldgleichung und beschreibt ein expandierendes, homogenes und isotropes Universum, wird also als Modell zur Beschreibung unseres Universums herangezogen. Sie ist daher in der Kosmologie von sehr großer Bedeutung.

Literatur

Populärwissenschaftlich

• Harald Fritzsch: Die verbogene Raum-Zeit, Piper, 1997. ISBN 3-492-22546-2
• Marcia Bartusiak: Einsteins Vermächtnis, Europäische Verlagsanstalt, 2005. ISBN 3-4345-0529-6
• Rüdiger Vaas: Tunnel durch Raum und Zeit, Franckh-Kosmos, 2006 (2. Aufl.), ISBN 3440093603

Lehrbücher

• Torsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie, 4. Auflage, Elsevier - Spektrum Akademischer Verlag, 2003. ISBN 3-8274-1356-7.
• Charles Misner; Kip S. Thorne, John. A. Wheeler:Gravitation, W. H. Freeman, San Francisco, 1973. ISBN 0-7167-0344-0.
• Hans Stephani: Allgemeine Relativitätstheorie, 4. Auflage, Wiley-VCH, 1991. ISBN 3326000839.
• Steven Weinberg: Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, New York 1972. ISBN 0471925675.
• Wolfgang Rindler: Relativity: Special, General and Cosmological, 2. Auflage, Oxford University Press, 2006. ISBN 0198567324.
• Robert M. Wald: General Relativity, University of Chicago Press, ISBN 0226870332
• Stephen W. Hawking, G. F. R. Ellis:The Large Scale Structure of Space-time, Cambridge University Press, ISBN 0521099064

Fachartikel

• Klaus P. Sommer: Wer entdeckte die Allgemeine Relativitätstheorie? Prioritätsstreit zwischen Hilbert und Einstein, Physik in unserer Zeit 36(5), S. 230 – 235 (2005), ISSN 0031-9252
• Clifford M. Will: The Confrontation between General Relativity and Experiment, Living Rev. Relativity 9 (2006) 3, http://www.livingreviews.org/lrr-2006-3

Weblinks

• http://www.einstein-online.info/

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