Weyl-Gleichung

Dei Weyl-Gleichung(en) , nach Hermann Weyl benannt, sind von besonderer Bedeutung in der Theory der schwachen Wechselwirkung. Da die Dirac-Darstellung der Lorentzgruppe reduzibel ist, kann man eine Darstellung finden in der die 4er-Spinoren sich als Bispinoren von 2er-Spinoren schreiben lassen:

$\Psi ={\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}$

Die 2er-Spinoren $\Psi _{L}$ und $\Psi _{R}$ sind die rechts- und linkshändigen Weyl-Spinoren. Für die Weyl-Spinoren nimmt die Diracgleichung folgende Form an

$\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\Psi ={\begin{pmatrix}-m&i\left(\partial _{0}+{\vec {\sigma }}{\vec {\nabla }}\right)\\i\left(\partial _{0}-{\vec {\sigma }}{\vec {\nabla }}\right)&-m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}=0.$

wobei $\sigma _{i}$ die Pauli Matrizen sind.

Die beiden Darstellungen der Lorentzgruppe $\Psi _{L}$ und $\Psi _{R}$ mischen in der Diracgleichung aufgrund des Massenterms miteinander. Für den Fall $m=0$ jedoch zerfällt die Diracgleichung in die zwei separate Weyl-Gleichungen für links- und rechtshändige Spinoren

$i\left(\partial _{0}-{\vec {\sigma }}{\vec {\nabla }}\right)\Psi _{L}=0;$

$i\left(\partial _{0}+{\vec {\sigma }}{\vec {\nabla }}\right)\Psi _{R}=0.$