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In der Analysis wird die Sattelpunktsnäherung verwendet, um Integrale der Form
I
=
lim
N
→
∞
∫
−
∞
∞
e
−
N
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle I=\lim _{N\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-Nf(x)}\;\mathrm {d} x}
näherungsweise zu berechnen.
Falls die Funktion
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
analytisch ist und ein globales Minimum bei
x
0
{\displaystyle x_{0}}
I
=
lim
N
→
∞
e
−
N
f
(
x
0
)
2
π
N
f
″
(
x
0
)
{\displaystyle I=\lim _{N\to \infty }e^{-Nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{Nf''(x_{0})}}}}
f
″
(
x
0
)
=
∂
2
f
(
x
)
∂
x
2
|
x
=
x
0
{\displaystyle \left.f''(x_{0})={\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x^{2}}}\right|_{x=x_{0}}}
Anwendungen
Die Sattelpunktsnäherung wird vor allem in der statistischen Physik im Grenzfall großer Systeme und der Quantenfeldtheorie verwendet.
Für große N wird die Exponentialfunktion außerhalb der Umgebung von
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
Taylorreihe entwickelt:
f
(
x
)
≈
f
(
x
0
)
+
1
2
f
″
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
2
{\displaystyle f(x)\approx f(x_{0})+{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}}
Einsetzen ins Integral liefert
I
=
lim
N
→
∞
∫
−
∞
∞
e
−
N
f
(
x
0
)
−
N
1
2
f
″
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
2
d
x
=
lim
N
→
∞
e
−
N
f
(
x
0
)
∫
−
∞
∞
e
−
N
1
2
f
″
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
2
d
x
{\displaystyle I=\lim _{N\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-Nf(x_{0})-N{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}}\mathrm {d} x={\lim _{N\to \infty }e^{-Nf(x_{0})}}\;\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-N{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}}\;\mathrm {d} x}
Das Integral über die Gauß-Verteilung lässt sich leicht lösen.
