Prozent

Zahlenangaben in Prozent (lat.-ital: vom Hundert, Hundertstel) dienen der Veranschaulichung und dem Vergleichbarmachen von Mengenverhältnissen, in dem sie immer zum selben Grundwert, nämlich Hundert, in Beziehung gesetzt werden. Prozentangaben werden durch das Symbol % kenntlich gemacht: 22,5 %

In Gesetzestexten verwendet man üblicherweise die Ausdrücke „vom Hundert“ (abgekürzt: vH oder v.H.) und „Prozentpunkt“. Das DIN empfiehlt jedoch, diese Ausdrücke zu vermeiden.

Definition

Ein Prozent ist der hundertste Teil oder das 0,01-fache eines Ganzen, also: 1 % = 0,01
Hundert Prozent sind ein Ganzes, also: 100 % = 1

Nach DIN 5477 vom Februar 1983 kann bei »der Angabe von Quotienten von Zahlen oder Größen gleicher Dimension einschließlich des Geldes« der Zahlenwert durch Abspalten des Faktors 10^-2 umgeformt werden; hierbei wird der Faktor 10^-2 mit dem Zeichen % bezeichnet. Dieses Zeichen soll Prozent oder Hundertstel gesprochen werden.

Verständnis

Prozentangaben erfüllen eine ähnliche Funktion wie die Formulierungen „ein Halb“, „ein Drittel“, „ein Viertel“, usw.. Allerdings können sie sehr viel differenziertere Mengenverhältnisse ausdrücken, z. B. „22,5 von 100“ = 22,5 Prozent, was dem 0,225-fachen des Ganzen entspricht.

Um Prozentangaben verstehen zu können, muss man wissen, worauf sich die Angabe bezieht und anhand des grammatikalischen Ausdrucks die verwendeten Rechenregeln ableiten können.

Bezugsgröße von Prozentangaben

Angaben in Prozent, wie z. B. „eine Regenwahrscheinlichkeit von 30 %“ oder „eine relative Risikoreduktion von 25 %“, sind nur verständlich, wenn die Bezugsgröße (was sind „100 %“?) angegeben wird.

Ein Beispiel ist die Berechnung der Mehrwertsteuer. Diese ist definiert durch den Wert eines Produktes (Netto) multipliziert mit dem Mehrwertsteuersatz. Die Summe des Nettobetrages und der Mehrwertsteuer ergibt den Bruttobetrag: Vorschlag

Bruttobetrag durch Mehrwertsteuer gleich Nettobetrag

Begründung: Eine klare Abgrenzung zwischen Bruttobetrag bzw. Nettobetrag ist bei Preisen fast nie möglich.

Bruttobetrag = Nettobetrag + (Nettobetrag ∙ Mehrwertsteuersatz)

Sind 100 Euro der Nettobetrag und der Mehrwertsteuersatz beträgt 20 % (wie in Österreich), so errechnet man die Mehrwertsteuer durch:

100 Euro ∙ 20 % = 20 Euro

oder

100 Euro ∙ 0,2 = 20 Euro

Demzufolge errechnet sich der Bruttobetrag:

100 Euro + 20 Euro = 120 Euro

Wenn ausschließlich der Bruttobetrag gesucht ist, einfacher:

100 Euro ∙ 1,2 = 120 Euro

Sprachgebrauch

• „Im Rechnungsbetrag sind 20 % Mehrwertsteuer enthalten“

Meint, dass der Mehrwertsteuersatz 20 % beträgt und der Rechnungsbetrag der Bruttobetrag ist, also Nettobetrag plus 20 % Mehrwertsteuer. Korrekt müsste es daher lauten: „Im Rechnungsbetrag ist die Mehrwertsteuer (mit einem Mehrwertsteuersatz von 20 %) enthalten“

• „Die Mehrwertsteuer beträgt 20 %“

Falsch, sollte eigentlich heißen „der Mehrwertsteuersatz beträgt 20 %“.

• „20 % des Rechnungsbetrages sind Mehrwertsteuer“

Falsch, wenn der Mehrwertsteuersatz 20 % beträgt, da es sich beim Rechnungsbetrag um den Nettowert plus Mehrwertsteuer handelt. Von einem Betrag von beispielsweise 120 Euro sind 20 % gleich 24 Euro. Tatsächlich beträgt die enthaltene Mehrwertsteuer hier aber 20 Euro und macht rund 16,667 % des Rechnungsbetrages aus.

Die Ausdrücke „um“ und „auf“ sind zu unterscheiden:

• „Mein Gehalt ist um 5 Prozent gestiegen und die Miete um 3 Prozent gesunken“

bedeutet dasselbe wie

• „Mein Gehalt ist auf 105 Prozent gestiegen und die Miete auf 97 Prozent gesunken“

Auch diese Angaben sind nur aussagekräftig, wenn der Grundwert bekannt ist, auf den sich die Prozentangabe bezieht, z. B. „…im Vergleich zum Vorjahr“.

Vergleicht man Prozentwerte, kann man dies in Prozentpunkten ausdrücken:

• „Der Anteil der Miete an meinen Ausgaben ist dieses Jahr um 5 Prozentpunkte gestiegen.“

Dies könnte z. B. bedeuten, dass der Anteil an den Ausgaben von 20 Prozent auf 25 Prozent gestiegen ist, aber auch von 30 Prozent auf 35 Prozent usw.. Es kommt hier nur auf die Differenz der Prozentwerte an. Das Beispiel bedeutet, dass der Betrag der Miete gestiegen ist oder dass die Ausgaben insgesamt gesunken sind (oder beides).

Umrechnung zwischen Zahlen- und Prozentwerten

Prozentwert in Zahlenwert umrechnen

Das Prozent-Symbol % durch ${\frac {1}{100}}$ ersetzen. (Das geht, weil 1% das Gleiche ist wie ${\frac {1}{100}}$)

Beispiel:

50% ist das gleiche wie $50\cdot {\frac {1}{100}}$, also ${\frac {50}{100}}$, also ${\frac {1}{2}}$.

Zahlenwert in Prozentwert umrechnen

Den Zahlenwert mit 100% multiplizieren. (Das geht, weil 100% das Gleiche ist wie 1.)

Beispiel:

${\frac {3}{4}}$ ist das gleiche wie ${\frac {3}{4}}\cdot 100\%$, also ${\frac {3\cdot 100}{4}}\%$ also $75\%$.

Beispiele

In der Finanzmathematik wird das Symbol p in dieser Formel durch 100 geteilt. Damit will man die Umrechnung direkt in die Formel einbauen. Mathematisch betrachtet ist dies jedoch ein Rechenfehler bei der Umwandlung innerhalb eines Einheitensystems und ist nicht SI-Komform (siehe Umrechnung zwischen Zahlen- und Prozentwerten). Die Summe aller Prozentsätze p_x muss hierbei immer 1 (100 %) ergeben; Die Summe aller Prozentwerte W_x ergibt den Grundwert:

${{\sum _{x}p_{x}}=1}{,}\,{{\sum _{x}W_{x}}=G}$

Eingabe am Taschenrechner

Taschenrechner unterschiedlicher Bauart und Hersteller behandeln die Tastatureingabe einer Prozentrechnung unterschiedlich. Dies kann zu Verwirrungen führen bzw. dazu, dass Benutzer von Taschenrechnern bei Prozentrechnungen auf die Prozenttaste verzichten und lieber auf den Dreisatz zurückgreifen.

Prozent als Steigung

10 % Steigung sind 10 m Höhenunterschied auf einer Strecke von 100 m

Im Straßenverkehr wird die Steigung (bzw. das Gefälle) in Prozent angegeben. Oft wird z. B. vor einem Gefälle von 10 % auf Tafeln gewarnt. 10 % Steigung entspricht einer Steigung von 0,1. Mit Hilfe des Arcustangens lässt sich daraus auch der entsprechende Steigungswinkel ausrechnen.

$\alpha =\arctan 0{,}1\approx 5{,}71^{\circ }$

Natürlich sind auch hier 100 % gleichwertig wie die Steigung 1, was genau 45° entspricht. Denn anders ausgedrückt sind 10 % Steigung 1 m Höhenunterschied auf einer Strecke von 10 m (oder 10 m Höhenunterschied auf einer Strecke von 100 m, siehe Bild).

Die Steigung ist nur über dem 1. und 4. Quadranten definiert, der rechte Winkel (die Senkrechte) ist undefiniert. Das Vorzeichen wird meist nicht angegeben, sondern „Steigung“ und „Gefälle“ beigefügt.

Andere Verwendung

In der Informatik wird das %-Zeichen (zweckentfremdet) meist für die Operation Modulo verwendet oder zur Kennzeichnung von Sonderzeichen z. B. in Webadressen.

Siehe auch

Wiktionary: Prozent – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Volumenprozent
• Promille
• Prozentrang
• Parts per million (ppm)