Metrischer Tensor

Der metrische Tensor der Relativitätstheorie läßt sich in der Form einer 4 dimensionalen Matrix darstellen.

$(g_{ik})={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}&g_{13}&g_{14}\\g_{21}&g_{22}&g_{23}&g_{24}\\g_{31}&g_{32}&g_{33}&g_{34}\\g_{41}&g_{42}&g_{43}&g_{44}\end{pmatrix}}$

In vielen physikalischen Lehrbüchern verwendet man oft nur die Darstellung $g_{ik}$ um Berechnungen auszudrücken. Durch die Matrixdarstellung sind die Werte der einzelnen $g_{ik}$ eindeutig definiert.
Man bezeichnet diese Form der Darstellung als kovariant.

Daneben gibt es noch die kontravariante Darstellung des metrischen Tensors. Formal drückt sie sich dadurch aus, dass die Indizes nun hochgestellt erscheinen.

$(g^{ik})={\begin{pmatrix}g^{11}&g^{12}&g^{13}&g^{14}\\g^{21}&g^{22}&g^{23}&g^{24}\\g^{31}&g^{32}&g^{33}&g^{34}\\g^{41}&g^{42}&g^{43}&g^{44}\end{pmatrix}}$

Für den metrischen Tensor wird vorausgesetzt, dass $(g_{ik})*(g^{ik})$ den Einheitstensor ergeben muss, d.h. die Matrix $(g_{ik})$ ist invers zur Matrix $(g^{ik})$.

Der Einheitstensor hat folgende Matrixdarstellung:

${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

Man verwendet den Metrischen Tensor um Abstände in der zugrundeliegenden Raum-Zeit zu berechnen. Formal sieht eine solche Abstandsberechnung folgendermaßen aus:

$ds^{2}=g_{ik}*dx^{i}*dx^{k}$

Dabei wird vorausgesetzt, dass über gleich vorkommende Indizes (der eine unten, der andere oben) summiert wird. Dies ist die sogenannte Einsteinsche Summationskonvention.

Das Multiplikationssymbol "*" lässt man meistens weg.

Ausgeschrieben sieht das folgendermaßen aus:

$ds^{2}=g_{00}dx^{0}dx^{0}+g_{01}dx^{0}dx^{1}+...+g_{43}dx^{4}dx^{3}+g_{44}dx^{4}dx^{4}$

Für die $g_{ik}$ werden die Zahlenwerte aus der Matrixdarstellung des metrischen Tensors $g_{ik}$ verwendet. $g_{ik}$ beschreibt das Gravitationsfeld, somit können sich diese Zahlenwerte an verschiedenen Orten unterscheiden. In der Einsteinschen Theorie bestimmt das Gravitationsfeld die Metrik der Raum-Zeit und somit die Gestalt des Metrischen Tensors. Anders ausgedrückt: "Das Gravitationsfeld schreibt der Materie vor, wie sie sich zu bewegen hat".

Weiter unten werden für spezielle Metriken die zugehörigen Tensoren angegeben.

Die Verwendung der Differentiale $ds$ und $dx^{k}$ entstammt der Differentialgeometrie, man beutzte diesen Formalismus ursprünglich um Abstände auf krummlinigen Kurven und Flächen zu berechnen. Er beinhaltet, dass sich diese krummlinigen Gebilde linear approximieren lassen. $ds^{2}$ wird manchmal auch als das Quadrat eines infinitesimal kleinen Abstandes bezeichnet. Durch Integration über die infinitesimalen Größen kann man reale Abstände berechnen.

$dx^{k}$ beschreibt das Differential der k-ten Komponente des Vierervektors $(x^{k})$.

Die angegebene Darstellung wurde der sogenannten klassischen Differentialgeometrie entnommen, die von vielen Physikern favorisiert wird.

Daneben gibt es einen rein mathematischen Zweig, der zum Teil eine völlig hiervon verschiedene Symbolik benutzt, der Kalkül der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Es ist schwierig, die beiden "unter einen Hut" zu bringen.

Die vorangehenden Überlegungen gelten sowohl für die spezielle als auch für die Allgemeine Relativitätstheorie.

Spezielle Relativitätstheorie

Der metrische Tensor der speziellen Relativitätstheorie sieht in kovarianter Matrixdarstellung folgendermaßen aus:

$(g^{ik})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}$