Sphärische Trigonometrie

Die sphärische Trigonometrie ist ein wichtiges Teilgebiet der sphärischen Geometrie (Kugelgeometrie). Sie befasst sich hauptsächlich mit der Berechnung von Seitenlängen und Winkeln in Kugeldreiecken.

Formeln für das rechtwinklige Kugeldreieck

Vorausgesetzt wird ein Kugeldreieck mit $\gamma =90^{\circ }$. Dann gelten folgenden Formeln:

$\cos c=\cos a\cdot \cos b$

$\sin a=\sin c\cdot \sin \alpha$

$\sin b=\sin c\cdot \sin \beta$

$\cos \alpha =\cos a\cdot \sin \beta$

$\cos \beta =\cos b\cdot \sin \alpha$

$\cos c=\cot \alpha \cdot \cot \beta$

$\sin a=\tan b\cdot \cot \beta$

$\sin b=\tan a\cdot \cot \alpha$

$\cos \alpha =\tan b\cdot \cot c$

$\cos \beta =\tan a\cdot \cot c$

Die erste dieser Gesetzmäßigkeiten ersetzt den Satz des Pythagoras der ebenen Geometrie.

Formeln für das allgemeine Kugeldreieck

Sinussatz:

$\sin a:\sin b:\sin c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma$

Seiten-Cosinussatz:

$\cos a=\cos b\cdot \cos c+\sin b\cdot \sin c\cdot \cos \alpha$

$\cos b=\cos a\cdot \cos c+\sin a\cdot \sin c\cdot \cos \beta$

$\cos c=\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b\cdot \cos \gamma$

Winkel-Cosinussatz:

$\cos \alpha =-\cos \beta \cdot \cos \gamma +\sin \beta \cdot \sin \gamma \cdot \cos a$

$\cos \beta =-\cos \alpha \cdot \cos \gamma +\sin \alpha \cdot \sin \gamma \cdot \cos b$

$\cos \gamma =-\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c$