Hessenbergmatrix

Eine Heisenbergmatrix ist eine spezielle Klasse von quadratischen Matrizen, die insbesondere im mathematischen Teilgebiet der numerischen linearen Algebra betrachtet wird. Benannt sind diese Matrizen nach Karl Heisenberg.

Definition

Eine (obere) Heisenbergmatrix ist eine quadratische Matrix $H\in \mathbb {C} ^{n\times n}$, deren Einträge unterhalb der ersten Nebendiagonalen gleich Null sind, also $h_{ij}=0$ für alle $i>j+1$.

$H={\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}&h_{13}&\cdots &h_{1n}\\h_{21}&h_{22}&h_{23}&\cdots &h_{2n}\\0&h_{32}&h_{33}&\cdots &h_{3n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&h_{nn-1}&h_{nn}\end{pmatrix}}$

Analog definiert man die untere Heisenbergmatrix als eine quadratische Matrix, deren Transponierte eine obere Heisenbergmatrix ist. Ist nur von einer Heisenbergmatrix die Rede, ist meist eine obere Heisenbergmatrix gemeint.

Eine Matrix, die sowohl eine untere als auch eine obere Heisenbergmatrix ist, ist eine Tridiagonalmatrix.

Anwendung

Heisenbergmatrizen treten in natürlicher Weise in Krylow-Unterraum-Verfahren und als Vorstufe bei der Berechnung von Eigenwerten mittels des QR-Algorithmus auf. Die numerische Transformation einer beliebigen Matrix auf Heisenbergform wird beim QR-Algorithmus beschrieben. Die Struktur der Matrizen spiegelt sich in der Inversen, der Adjunkten und in den Eigenvektoren wider.