Wiener-Chintschin-Theorem

Das Wiener–Khintchine-Theorem, auch bekannt als Wiener–Khinchin-Theorem und Khinchin–Kolmogorov-Theorem besagt, dass die spektrale Leistungsdichte eines „wide-sense-stationary random process“ die Fourier-Transformation der korrespondierenden Autokorrelationsfunktionen ist.

Für zeitkontinuierliche Signale hat das Theorem die Gestalt:

$S_{xx}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }r_{xx}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau$

mit der Autokorrelationsfunktion: $r_{xx}(\tau )=E\left[x(t)x^{*}(t-\tau )\right]$, ausgedrückt durch den Erwartungswert und mit dem Leistungsdichtespektrum $S_{xx}(f)$ der Funktion $x(t)$.

Im falle zeitdiskreter Signale hat das Wiener-Khinchine Theorem eine ähnliche Form:

$S_{xx}(f)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }r_{xx}(k)e^{-j2\pi kf}$

hier mit der Autokorrelationsfunktion $r_{xx}(k)=E\left[x(n)x^{*}(n-k)\right]$ und dem Leistungsdichtespektrum $S_{xx}(f)$ von $x(n)$.

Es ist benannt nach Aleksandr Yakovlevich Khinchin, Norbert Wiener und Andrey Kolmogorov.

Anwendungen

Das Theorem erlaubt es, linearen zeitinvarianten Systemen zu untersuchen, wenn deren Ein- und Ausgangssignale nicht quadratintegrabel sind und somit keine Fouriertransformierten existieren. Nach dem Theorem ist die Autokorrelationsfunktion des Ausgangssignals gleich der des Eingangssignals multipliziert mit dem Betragsquadrat der Impulsantwort des Systems.