Tschebyschow-Polynom

Tschebyschow-Polynome (nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow, oft auch als Tschebyscheff, Tschebyschew, Tschebyschev oder Chebychev in der Literatur zu finden) sind in der Mathematik Polynome $T_{n}(x)$, die sich als Lösung der Tschebyschow-Differentialgleichung

$(1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0$

ergeben. Mit beliebigen A und B ist die Lösung die Funktion

$y=A\,(1-x^{2})\,{n^{2} \over 2!}\,x^{2}+n^{2}\,{n^{2}-4 \over 4!}\,x^{4}-{n^{2}\,(n^{2}-4)\,(n^{2}-16) \over 6!}\,x^{6}+...$

$+B\,\left(x-{n^{2}-1 \over 3!}\,x^{3}+{(n^{2}-1)\,(n^{2}-1)\,(n^{2}-9) \over 5!}\,x^{5}-...\right)$

Man kann die für ganzzahlige Reihen abbrechenden Lösungen so normieren, dass $T_{n}(1)=1$ gilt, sodass sich die Tschebyschow-Polynome $T_{0}(x)$ ergeben.

Die ersten sieben Polynome dieser Art sind:

$T_{0}(x)=1$

$T_{1}(x)=x$

$T_{2}(x)=2x^{2}-1$

$T_{3}(x)=4x^{3}-3x$

$T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1$

$T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x$

$T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1$

Sie können in allgemeiner Weise aus $T_{n+1}(x)=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x)$ berechnet werden.

Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen sind die Tschebyschow-Polynome darstellbar als $T_{n}(x)=\cos \left(n\,\arccos x\right)$ oder $T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )$.

Die Nullstellen des Tschebyscheff-Polynoms $T_{n}(x)$ sind $\cos \left({\frac {(2j+1)\pi }{2n}}\right)$ für $j=0,...,n-1$.

Anwendungen

In der Filtertechnik werden die Tschebyschow-Polynom bei den Tschebyschefffiltern verwendet.