Planck-Einheiten

Die Planck-Einheiten, benannt nach Max Planck, werden aus dem natürlichen System von Einheiten für Länge, Zeit und Masse gebildet. Sie lassen sich aus den drei grundlegendsten Naturkonstanten herleiten, nämlich der Gravitationskonstanten G, der Lichtgeschwindigkeit c und dem planckschen Wirkungsquantum h. Es ist durchaus angemessen und auf dem Gebiet der Quantengravitation auch üblich, die Planck-Einheiten (Länge, Zeit und Masse) selbst als die fundamentalen Naturkonstanten zu interpretieren und G, c und h als die abgeleiteten Größen.

Die Planck-Einheiten markieren auch eine Grenze der Anwendbarkeit der bekannten Naturgesetze, siehe Planck-Skala.

Definitionen

Die Planck-Einheiten ergeben sich aus einer einfachen Dimensionsbetrachtung, das heißt einer Suche nach einem mathematischen Ausdruck von der Dimension einer Länge, Zeit bzw. Masse, der nur Produkte und Quotienten von geeigneten Potenzen von $G$, $c$ und $\hbar$ enthält, wobei $2\pi \hbar =h$. Benutzt man zusätzlich die elektrische Permittivität $4\pi \epsilon _{0}$ und die Boltzmann-Konstante $k$, so lassen sich außerdem eine Planck-Ladung und eine Planck-Temperatur als weitere Grundgrößen bestimmen.

Name	Quantität	Term	Ungefähres SI-Äquivalent	Andere Äquivalente
Planck-Masse	Masse (M)	$m_{\rm {P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}$	2,17645 · 10-8 kg	1,311 · 1019 u
Planck-Länge	Länge (L)	$l_{\rm {P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}$	1,61624 · 10-35 m
Planck-Zeit	Zeit (T)	$t_{\rm {P}}={\frac {l_{\rm {P}}}{c}}={\frac {\hbar }{m_{\rm {P}}c^{2}}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}$	5,39121 · 10-44 s
Planck-Ladung	Ladung (Q)	$q_{\rm {P}}={\sqrt {\hbar c4\pi \epsilon _{0}}}$	1,8755459 · 10-18 C	11,70624 e
Planck-Temperatur	Temperatur (Θ)	$T_{\rm {P}}={\frac {m_{\rm {P}}c^{2}}{k}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{Gk^{2}}}}$	1,41679 · 1032 K

Neben diesen fünf Grundgrößen werden auch folgende abgeleitete Größen verwendet:

Name	Quantität	Term	Ungefähres SI Äquivalent	Andere Äquivalente
Planck-Energie	Energie (ML2T-2)	$E_{\rm {P}}=m_{\rm {P}}c^{2}={\frac {\hbar }{t_{\rm {P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}$	1,9561 · 109 J
Planck-Impuls	Impuls (MLT-1)	$m_{\rm {P}}c={\frac {\hbar }{l_{\rm {P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}$	6,52485 kg m/s
Planck-Kraft	Kraft (MLT-2)	$F_{\rm {P}}={\frac {E_{\rm {P}}}{l_{\rm {P}}}}={\frac {\hbar }{l_{\rm {P}}t_{\rm {P}}}}={\frac {c^{4}}{G}}$	1,21027 · 1044 N
Planck-Leistung	Leistung (ML2T-3)	$P_{\rm {P}}={\frac {E_{\rm {P}}}{t_{\rm {P}}}}={\frac {\hbar }{t_{\rm {P}}^{2}}}={\frac {c^{5}}{G}}$	3,62831 · 1052 W
Planck-Dichte	Dichte (ML-3)	$\rho _{\rm {P}}={\frac {m_{\rm {P}}}{l_{\rm {P}}^{3}}}={\frac {\hbar t_{\rm {P}}}{l_{\rm {P}}^{5}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}$	5,15500 · 1096 kg/m3
Planck-Kreisfrequenz	Frequenz (T-1)	$\omega _{\rm {P}}={\frac {1}{t_{\rm {P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}$	1,85487 · 1043 s-1
Planck-Druck	Druck (ML-1T-2)	$p_{\rm {P}}={\frac {F_{\rm {P}}}{l_{\rm {P}}^{2}}}={\frac {\hbar }{l_{\rm {P}}^{3}t_{\rm {P}}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}$	4,63309 · 10113 Pa
Planck-Strom	Elektrischer Strom (QT-1)	$I_{\rm {P}}={\frac {q_{\rm {P}}}{t_{\rm {P}}}}={\sqrt {\frac {c^{6}4\pi \epsilon _{0}}{G}}}$	3,4789 · 1025 A
Planck-Spannung	Elektrische Spannung (ML2T-2Q-1)	$V_{\rm {P}}={\frac {E_{\rm {P}}}{q_{\rm {P}}}}={\frac {\hbar }{t_{\rm {P}}q_{\rm {P}}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{G4\pi \epsilon _{0}}}}$	1,04295 · 1027 V
Planck-Impedanz	Widerstand (ML2T-1Q-2)	$Z_{\rm {P}}={\frac {V_{\rm {P}}}{I_{\rm {P}}}}={\frac {\hbar }{q_{\rm {P}}^{2}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}$	29,9792458 Ω

Die Planck-Fläche $l_{\rm {P}}^{2}$ spielt insbesondere in Stringtheorien und bei Überlegungen zur Entropie Schwarzer Löcher in Zusammenhang mit dem holografischen Prinzip eine wichtige Rolle.

Rolle als Einheitensystem

Löst man die ersten drei Gleichungen nach G, c und $\hbar$ auf, so erhält man Ausdrücke, die analog nur Potenzen von l_p, t_p und m_p enthalten, aber keine Zahlenfaktoren. Die Naturkonstanten G, c und $\hbar$ haben daher in Planck-Einheiten jeweils den Zahlenwert 1. Formuliert man Gleichungen, die diese Naturkonstanten enthalten, in Planck-Einheiten, so können sie daher entfallen, was in bestimmten Disziplinen der theoretischen Physik die Gleichungen deutlich vereinfacht, wie beispielsweise in der allgemeinen Relativitätstheorie und in den verschiedenen Ansätzen für eine Quantengravitation.

Die Gravitationskonstante ist mit einem relativen Fehler von etwa 1/7000 vergleichsweise ungenau bekannt. Da sich diese Ungenauigkeit auf die Kenntnis der Planck-Einheiten überträgt, sind sie als Einheitensystem für die Experimentalphysik von untergeordneter Bedeutung. Dazu trägt auch ihre geringe Größe bei, die selbst bei den kleinsten derzeit zugänglichen Messwertbereichen zu extrem großen Zahlenwerten führen würde.

Geschichte

Planck entdeckte die letzte zur Definition der Planck-Einheiten erforderliche Naturkonstante, das nach ihm benannte Wirkungsquantum. Er erkannte die Möglichkeit, damit ein universell gültiges System von Einheiten zu definieren und erwähnte diese bereits im Mai 1899 in seiner Publikation mit dem Titel „Über irreversible Strahlungsvorgänge“ in Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften (Band 5, S. 479, 1899). Zu dieser Zeit war die Quantenmechanik noch gar nicht entdeckt. Erst im Dezember 1900 publizierte er seine Arbeit zur Theorie der Strahlung eines Schwarzen Körpers, in der die später nach ihm benannte Konstante erstmals mit h bezeichnet wurde, und für die er 1919 den Nobelpreis für Physik für das Jahr 1918 erhielt. Das folgende Zitat vermittelt einen Eindruck von dem Stellenwert, den Planck diesen Einheiten einräumte:

„… ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch außerirdische und außermenschliche Culturen nothwendig behalten und welche daher als „natürliche Maaßeinheiten“ bezeichnet werden können …“

– Max Planck

Weblinks, Quellen

[1] aus der Fernseh-Sendereihe alpha-Centauri (ca. 15 Minuten). Erstmals ausgestrahlt am  .