Polstelle

Grundsätzlich gehört eine Polenstelle zu den sogenannten isolierten Singularitäten, also zu Definitionslücken, zu denen es Umgebungen gibt, die keine weitere Definitionslücken enthalten. Eine Polstelle einer rationalen Funktion $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ in der Mathematik liegt vor, wenn die Beträge der Werte der Funktion in jeder Umgebung dieser Stelle beliebig groß werden (gegen Unendlich streben). Betrachtet man an Stelle von rationalen Funktion beliebige reelle (sogar auch komplexe) Funktionen, muss die Definition einer Polstelle verfeinert werden.

Der Graph der Funktion verschwindet bei Annäherung an die Polstelle im Unendlichen. Die Funktion hat an der Polstelle einen uneigentlichen Grenzwert, also plus oder minus unendlich. Der Graph besitzt an der Polstelle eine vertikale Asymptote.

Beispiel: Die Funktion $f(x)={\frac {1}{x}}$ hat eine Polstelle bei $x=0$ .

Rationale Funktionen

Rationale Funktionen der Mathematik haben die Form

f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}},

wobei $u(x)$ und $v(x)$ Polynome sind.

Die Ordnung von Polstellen rationaler Funktionen

Da $u(x)$ und $v(x)$ Polynome sind, ist ihr Verhalten an ihren Nullstellen aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra bekannt: die Nullstellen der Zähler- und Nennerfunktionen lassen sich ausfaktorisieren. Wenn also $u(x)$ und $v(x)$ an der Stelle $x_{0}$ eine Nullstelle haben, so ist immer

u(x)=(x-x_{0})^{N_{u}}\;s(x)

und

v(x)=(x-x_{0})^{N_{v}}\;t(x)

wobei

s(x_{0})\neq 0\land t(x_{0})\neq 0.

Die natürlichen Zahlen $N_{u}$ und $N_{v}$ bezeichnet man auch als die Ordnung (oder Vielfachheit) der jeweiligen Nullstelle.

Offensichtlich kann man die gemeinsamen Faktoren der Nullstellen kürzen.

Wenn

N_{u}>N_{v}>0

, dann liegt eine stetig behebbare Definitionslücke vor, wobei der Grenzwert durch 0 gegeben ist.

Wenn

N_{u}=N_{v}>0

, dann liegt eine stetig behebbare Definitionslücke vor, wobei der Grenzwert durch

s(x_{0})/t(x_{0})

gegeben ist.

Wenn

N_{u}<N_{v}

, dann liegt eine Polstelle vor.

Derartige Polstellen werden nach ihrer Ordnung $N_{v}-N_{u}$ bezeichnet.

Wenn die Nennerfunktion $v(x)$ eine n-fache Nullstelle besitzt, die Zählerfunktion aber an derselben Stelle nicht auch mindestens n-fach Null ist, liegt eine Polstelle vor. Der Fall, dass Zähler- und Nennerfunktion gleichzeitig Null werden, ist im Artikel "Stetig behebbare Definitionslücke" behandelt.

Verhalten des Graphen

Die Ordnung des Pols beschreibt gleichzeitig das Verhalten des Funktionsgraphen an der Polstelle. Bei einem Pol ungerader Ordnung springt der Graph aus dem positiven in den negativen Wertebereich oder umgekehrt. Bei der beidseitigen Untersuchung des Grenzwertes an der Polstelle macht sich dies in unterschiedlichen Vorzeichen der beiden Ergebnisse deutlich. Man spricht auch von einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

Ein Pol gerader Ordnung liegt vor, wenn der Graph sowohl links als auch rechts der Polstelle im Wertebereich mit dem gleichen Vorzeichen erscheint. Die beidseitigen Grenzwerte haben dann auch ein identisches Vorzeichen. Man spricht auch von einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.