Logarithmische Verteilung

Die logarithmische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung und kommt aus dem Bereich der Versicherungsmathematik. Sie ist interessant als Schadenshöhenverteilung, wird aber kaum zur Bestimmung der Schadensanzahlen benutzt.

Definition

Eine diskrete Zufallsgröße $X_{n}$ genügt der logarithmischen Verteilung mit den Parametern $k$ (Anzahl der Versuche) und $p$ (Erfolgswahrscheinlichkeit), wenn sie die Wahrscheinlichkeit

$\operatorname {P} (X_{n}=k)={\frac {p^{k}}{k}}\cdot {\frac {1}{-\ln(1-p)}}$

besitzt.

Eigenschaften

Erwartungswert

Die logarithmische Verteilung hat einen Erwartungswert von

$\operatorname {E} (X_{n})={\frac {p}{-(1-p)\ln(1-p)}}$.

Varianz

Die Varianz bestimmt sich zu

$\operatorname {Var} (X_{n})={\frac {p(-\ln(1-p)-p)}{(1-p)^{2}\ln ^{2}(1-p)}}$.

Variantionskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man sofort den Variationskoeffizienten

$\operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {p}{-\ln(1-p)-p}}}$.

Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu:

$\operatorname {v} (X)={\frac {1}{\sqrt {p(-\ln(1-p)-p)}}}\left({\frac {\ln ^{2}(1-p)}{-\ln(1-p)-p}}+p(-\ln(1-p)-2p)\right)$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

$\phi _{X}(s)={\frac {\ln(1-pe^{is})}{\ln(1-p)}}$.

Erzeugende Funktion

Für die erzeugende Funktion erhält man.

$g_{X}(s)={\frac {\ln(1-p^{i^{s^{a}}})}{\ln(1-p)}}$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der logarithmischen Verteilung ist

$m_{X}(s)={\frac {\ln(1-pe^{s})}{\ln(1-p)}}$.