Kommutator (Mathematik)

In der Mathematik misst der Kommutator (lat. commutare vertauschen), wie sehr zwei Elemente einer Gruppe oder einer assoziativen Algebra das Kommutativgesetz verletzen.

Kommutatoren in Gruppen

Der Kommutator zweier Elemente g und h einer Gruppe G ist das Element g⁻¹h⁻¹gh, was häufig auch als [g,h] geschrieben wird. Manchmal wird der Kommutator auch als das Element ghg⁻¹h⁻¹ definiert.

Der Kommutator von g und h ist genau dann gleich dem neutralen Element, wenn g und h kommutieren, d.h. genau dann wenn gh = hg. Die von allen Kommutatoren erzeugte Untergruppe wird Kommutator-Untergruppe von G genannt. Kommutatoren werden benutzt, um nilpotente Gruppen zu definieren.

Kommutatoren in Algebren

Kommutatoren werden auch für Ringe und assoziative Algebren definiert. Hier ist der Kommutator $[a,b]$ zweier Elemente $a$ und $b$ definiert als

$[a,b]=ab-ba$.

Er ist genau dann gleich 0, wenn $a$ und $b$ „kommutieren“ (vertauschen), d.h. wenn $ab=ba$ gilt.

Eigenschaften

Sei $a$, $b$ und $c$ Elemente einer associativen Algebra und $\lambda$ ein Skalar (Element des Grundkörpers).

1. Alternierend (antisymetrisch):

   $[a,b]=-[b,a]$

2. Linear:

   $[\lambda a+b,c]=-\lambda [a,c]+[b,c]$

3. Jacobi-Identität:

   $[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0$

4. Leibnizregel:

   $[a,bc]=[a,b]c+b[a,c]$

Aufgrund der Eigenschaften 1, 2 und 3 wird jede assoziative Algebra $A$ mit dem Kommutator als Lie-Klammer zu einer Lie-Algebra, die teilweise mit $A^{-}$ bezeichnet wird.

Eigenschaft 4 bedeutet, das die Abbildung $b\mapsto [a,b]$ ist eine Derivation ist.

Verallgemeinerung

Der Antikommutator ist definiert durch $[a,b]_{+}=ab+ba$.

Anwendung in der Physik

In der Quantenmechanik wird der Kommutator von gewissen linearen Operatoren in einem Hilbertraum verwendet. Er bestimmt, mit welcher Mindest-Unschärfe die den Operatoren entsprechenden Observablen bei gleichzeitiger Messung behaftet sind (Unschärferelation). Siehe dazu Kommutator (Physik).