Polynomdivision

Die Polynomdivision ist ein mathematisches Verfahren zum Lösen von Gleichungen höheren Grades.

Angenommen, es liegt eine Gleichung vor, deren linke Seite ein Polynom und deren rechte Seite Null ist:
$P(x)\equiv {}a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots {}+a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}=0$ .
Sie kann nach dem Wurzelsatz von Vietá als Produkt von Linearfaktoren gedacht werden:
$P(x)\equiv {}a(x-x_{n})(x-x_{n-1})\dots {}(x-x_{2})(x-x_{1})=0$

Wenn eine Lösung $x_{n}$ z.B. durch Intervallschachtelung gefunden wurde, findet die Polynomdivision Anwendung, um den Grad der Gleichung um Eins zu senken.

Durchführung

Aus der Lösung $x_{n}$ wird der Linearfaktor $(x-x_{n})$ gebildet.
Die Divisionsaufgabe

(a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots {}+a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}):(x-x_{n})=

wird aufgestellt. Ähnlich wie bei der schriftlichen Division im Wesentlichen nur die erste Ziffer betrachtet wird, muss hier darauf geachtet werden, dass jeweils die höchste Potenz von x vollständig aufgelöst wird, unabhängig davon, was im Anschluss folgt.

Wegen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle a_{n} \cdot x^n:x = a_{n} \cdot x^{(n-1)} } beginnt das Ergebnis mit

a_{n}\cdot x^{(n-1)}

, also hat sich der Grad des Polynoms um Eins erniedrigt.

Anwendungsbeispiel

Angenommen, die Gleichung x³+5x²+2x-8=0 ist zu lösen und durch Probieren haben wir eine erste Lösung x=1 gefunden. Wir bilden das Binom (x-1) und schreiben: (x³+5x²+2x-8)÷(x-1)=.
Da x³:x=x² ergibt, entsteht hinter dem Gleichheitszeichen nur noch das quadratische Glied 1x². Damit wird wie beim Schriftlichen Teilen die Klammer (x-1) multipliziert und das entstehende Zwischenergebnis x³-x² von der Ursprungsaufgabe abgezogen. Mit dem Rest wird genauso verfahren:

  (x³ +5x² +2x -8)÷(x-1)= x² +6x +8
 -(x³ - x²)
  ----------
  0x³ +6x² +2x -8
 -    (6x² -6x)
      ----------
            8x -8
 -         (8x -8)
           -------
                0

Die Division ging glatt auf. Für die anderen beiden Lösungen ist jetzt nur noch die Quadratische Gleichung x² +6x +8=0, z.B. durch Quadratische Ergänzung, zu lösen.