Produkt (Mathematik)

In der Mathematik bezeichnet der Begriff Produkt das Ergebnis bestimmter Faktoren. Das bekannteste Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation von Zahlen.

Symbolik

Analog zum Summen-Symbol ($\sum$) gibt es in der Mathematik das Produkt-Symbol $\prod$ (Großes Pi), um ein Produkt implizit (unberechnet) als Ergebnis einer Iteration (eines Durchlaufes) über mehrere Faktoren darzustellen.

$\prod _{k=1}^{n}a_{k}$ liest man als „Produkt über a_k für k von 1 bis n“, der Ausdruck bedeutet: a₁·a₂·...·a_n

Inneres Produkt

In Prähilberträumen wird mit Skalarprodukt oder inneres Produkt ein eng mit dem Winkel zusammenhängender Begriff bezeichnet.

Inneres Produkt oder Produkt erster Art ist auch eine ältere Bezeichnung für die Schnittmenge in der Mengenlehre.

Äußeres Produkt

Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt oder äußeres Produkt genannt) ist neben dem Skalarprodukt (inneres Produkt) das zweite wichtige Produkt von zwei Vektoren.

Produkt der Kategorientheorie

Produkt in der Kategorientheorie
Produkt in der Kategorientheorie

In der Kategorientheorie ist das Produkt einer durch die Menge I indizierten Familie von Objekten $\{A_{i}\,|\,i\in I\}$ ein Paar $(P,\{{\mbox{pr}}_{i}\,|\,i\in I\})$, wobei

• P ein Objekt ist,
• ${\mbox{pr}}_{i}$ ein Morphismus (genannt Projektion) von P nach $A_{i}$ ist (für jedes i aus I),
• und für jedes Objekt C und jede Familie von Morphismen $f_{i}$ von C nach $A_{i}$ es genau einen Morphismus f von C nach P gibt mit $f_{i}={\mbox{pr}}_{i}\circ f$.

Die letzte Bedingung sichert die 'Eindeutigkeit' der Projektionen. (Dieses Produkt hat eine so genannte universelle Eigenschaft.)

Diese sehr allgemeine Definition enthält viele andere in der Mathematik auftretende Definitionen des Begriffs Produkt:

1. In der Kategorie Set der Mengen entspricht obige Definition dem kartesischen Produkt.
2. In der Kategorie Top der topologischen Räume mit stetigen Funktionen entspricht obige Definition der des topologischen Produkts: das kartesische Produkt, versehen mit der gröbsten Topologie, bei der alle Projektionen pr(i) noch stetig sind.
3. In der Kategorie Grp der Gruppen, und anderen Kategorien algebraischer Strukturen wie der Kategorie der Ringe oder der der Vektorräume entspricht obige Definition dem direkten Produkt: das kartesische Produkt, versehen mit komponentenweisen Verknüpfungen.

Literatur

• K. Meyberg: Algebra, Teil 2, Hanser Verlag, München, 1976, ISBN 3-446-12172-2, siehe Kapitel 10: Kategorien