Goldener Schnitt
Eine Strecke mit den Endpunkten A und B wird durch einen dritten Punkt P in zwei Teilstrecken geteilt.
P teilt die Strecke AB im Goldenen Schnitt falls gilt:
AP / PB = AB / AP
Das heißt die größere Teilstrecke geteilt durch die kleinere ergibt die gleiche Zahl wie die ganze Strecke geteilt durch die größere Stecke.
Interdisziplinäres
In Architektur und Kunst wurde in der Vergangenheit vielfach darauf geachtet bei Einteilungen die Teilverhältnisse des Goldenen Schnittes zu wahren.
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Der Goldene Schnitt spielt eine besondere Rolle im Pentagramm: Wegen der Symmetrien sind die Strecken AP, AP', A'B und B'B gleich lang. Außerdem sind die Strecken PB, P'P und P'B' gleich lang. Wegen des Strahlensatzes muss gelten
Die bereits gezeigten Beziehungen P'P=PB und B'B=AP führen unmittelbar auf die oben stehende Definitionsgleichung des Goldenen Schnittes. |
In der Natur findet sich der Goldene Schnitt beispielsweise im Verhältnis der Längen der Finger- und Armknochen des Menschen zueinander (z.B. das Verhältnis des Unterarmes zum Oberarm).
Zahlen und Fakten
Der goldene Schnitt ist ein Verhältnis, welches man mit
- τ = ( 1+√5)/2 ≈ 1,61803398874989484820458683436564
oder mit
- ρ = 1÷τ = (-1+√5)/2 ≈ 0,61803398874989484820458683436564
angeben kann. Es ist als Irrationale Zahl ein Beispiel für die Inkommensurabilität von Zahlen.
Für den Goldenen Schnitt gelten folgende Beziehungen:
- τ = ρ + 1
und
- τ = 1/ρ
Außerdem gilt für das Quadrat τ² = τ + 1:
- ((1+√5)/2)² = 1+(1+√5)/2 ≈ 2,61803398874989484820458683436564
In der Trigonometrie gilt unter anderem:
- sin(18°) = (τ-1)÷2
- sin(54°) = τ÷2
Literatur
- Hans Walser: Der Goldene Schnitt, Teubner (ISBN 3-8154-2511-5) oder vdf (ISBN 3-7281-2336-6).
Siehe auch: Fibonacci-Folge