Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge ist eine mathematische Folge von positiven ganzen Zahlen, den Fibonacci-Zahlen. Der Mathematiker Leonardo Fibonacci (Leonardo von Pisa) entwickelte sie, um das Wachstum einer Population von Kaninchen zu beschreiben, und publizierte sie in seinem Buch "Liber Abaci" aus dem Jahre 1202.

Definition der Fibonacci-Folge

Die Folge ist rekursiv definiert durch:

f(0) = 0
f(1) = 1
f(n+2) = f(n) + f(n+1)

Das bedeutet,

dass für die beiden ersten Zahlen die Werte Null und Eins vorgegeben wird, und
dass sich jede weitere Zahl durch Summieren der beiden vorherigen ergibt.

Daraus ergibt sich die Folge zu

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ...

Modell einer Kaninchenpopulation

Fibonacci stieß auf diese Folge bei der einfachen mathematischen Modellierung des Wachstums einer Kaninchenpopulation nach folgender Vorschrift:

Zu Beginn gibt es ein Kaninchenpaar.
Jedes Kaninchen wird nach 2 Monaten gebärfähig.
Jedes Kaninchenpaar bringt jeden Monat ein weiteres zur Welt.
Kaninchen leben ewig.
Kaninchen haben einen unbegrenzten Lebensraum.

Jeden Monat kommt zu der Anzahl der Paare, die im letzten Monat gelebt haben, die dazu, die im vorletzten gelebt haben, da diese sich nun vermehren. Das entspricht aber gerade der oben angegebenen Rekursionsformel.

Formel von Binet

Will man die Fibonacci-Zahl für ein großes n berechnen, so ist das mit dem angegebenen Bildungsgesetz recht umständlich, weil man zunächst alle vorhergehenden Fibonacci-Zahlen berechnen muss. Wünschenswert wäre deshalb eine geschlossene Formel, mit der man eine Fibonacci-Zahl direkt - ohne Kenntnis der vorhergehenden Zahlen - berechnen kann.

Tatsächlich hat der französische Mathematiker Jacques-Philippe-Marie Binet bereits 1843 eine solche geschlossene Darstellung angegeben:

$f(n)={\frac {1}{\sqrt {5}}}(a^{n+1}-b^{n+1})\ mit\ a={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})\ und\ b={\frac {1}{2}}(1-{\sqrt {5}})$

Diese Formel ist bekannt als Formel von Binet.

Näherungsformel für große n

Für große Werte von n kann man den Ausdruck bⁿ⁺¹=-0,618033989 ⁿ⁺¹ gegenüber dem Ausdruck aⁿ⁺¹=1,618033989ⁿ⁺¹ vernachlässigen. Dann erhält man die Näherungsformel

$f(n)={\frac {1}{\sqrt {5}}}a^{n+1}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot ({\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}}))^{n+1}\approx 0,223606798\cdot 3,236067977^{n+1}$

Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt

Wie von Johannes Kepler festgestellt wurde, nähert sich der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder f(n+1)/f(n) dem Goldenen Schnitt an.

Dies kann man sehr einfach einsehen, wenn man die obige Näherungsformel für große n benutzt:

${\frac {f(n+1)}{f(n)}}=a={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})$

Kettenbruch

Jeder Quotient zweier auf einander folgender Fibonacci-Zahlen lässt sich als als endlicher Kettenbruch darstellen:

${\frac {1}{1}}=1\qquad {\frac {2}{1}}=1+{\frac {1}{1}}\qquad {\frac {3}{2}}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}\qquad {\frac {5}{3}}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}}}\qquad {\frac {8}{5}}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}}}}}$

der unendliche Kettenbruch $1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+...}}}}}}}}$ ist eine Darstellung des goldenen Schnittes.

Die Zahl Phi

$\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}618{...}$

Φ ist eine irrationale Zahl. Es zeigt sich, dass sie in einem bestimmten Sinne die irrationalste aller Zahlen ist. Das bedeutet, dass sie sich nur schlecht durch ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen annähern lässt, ein Umstand, der wesentlich zu ihrer Bedeutung in Kunst und Natur beiträgt.

Für den Kehrwert gilt:

{\frac {1}{\Phi }}={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}

Computerprogramm: Basic

So sieht ein Basic-Programm aus, das die Fibonacci-Zahlen ausrechnet:

a = 0
b = 1
Print a
Print b
For i = 2 To 100
  x = a
  a = b
  b = x + b
  Print b
Next i

Dieses Programm gibt die Fibonacci-Zahlen F(0) bis F(100) aus.

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