Elliptische Integrale

Ein Elliptisches Integral ist ein Integral vom Typ

$\int R(x,{\sqrt {P(x)}})dx$

wobei R eine rationale Funktion in zwei Variablen und P(x) ein Polynom dritten oder vierten Grades ohne mehrfache Nullstelle ist.

Elliptische Integrale lassen sich im Allgemeinen nicht durch elementare Funktionen darstellen, doch können sie durch Variablentransformationen in eine Summe von elementaren Funtionen und Integralen der hier beschriebenen Form für 0 < k² < 1 überführt werden. Diese Integrale heißen Unvollständige Elliptische Integrale erster, zweiter und dritter Ordnung; die durch die Substitution

$x=\sin \varphi$

erhaltene Darstellung nennt man Legendresche Normalform.

Elliptische Integrale sind die Umkehrfunktionen der Elliptischen Funktionen.

Variablentransformation

$\int _{0}^{x}{\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\;=\;\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi )}}},$

$\int _{0}^{x}{\sqrt {{\frac {1-k^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}dx}}\;=\;\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi d\varphi }}$

$\int _{0}^{x}{\frac {dx}{(1-hx^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}\;=\;\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\varphi }{(1+h\sin ^{2}\varphi ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}$