Drehmoment

Als Drehmoment (engl. Torque) bezeichnet man jene physikalische Größe, die bei der Beeinflussung einer Drehbewegung wirkt. Sie spielt dabei dieselbe Rolle wie die Kraft bei einer fortschreitenden Bewegung.

Das Drehmoment wird in Newtonmeter (Einheitenzeichen: Nm) gemessen und ist das Vektorprodukt von Kraftarm mal Kraft ${\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}$, steht also senkrecht auf beiden. Für das Drehmoment ist daher nur die Kraftkomponente senkrecht zum Kraft- oder Hebelarm wirksam (F´, siehe Skizze).

Definitionen

Wirkt auf den Schwerpunkt eines frei beweglichen starren Körpers eine Kraft, so wird der Körper beschleunigt, das heißt, seine Geschwindigkeit verändert sich. Er führt eine geradlinige Translationsbewegung (Verschiebung) aus. Wird der Körper jedoch an einem Punkt festgehalten, so ist keine Translation mehr möglich, und die Bewegungsmöglichkeit des Körpers reduziert sich auf Rotationsbewegungen (Drehungen) um diesen Punkt. Die Größe, die diese Drehbewegung beeinflusst, d. h. die Änderung der Rotationsgeschwindigkeit verursacht, heißt Drehmoment.

Eine einzelne Kraft ${\vec {F}}_{1}$ kann keine reine Drehbewegung verursachen. Eine Veränderung der Drehbewegung ohne Änderung der Translationsbewegung ist erst möglich, wenn ein Kräftepaar angreift. Die zweite Kraft wird beispielsweise durch die drehbare Befestigung des Körpers aufgebracht. Ist die zweite Kraft entgegengesetzt gleich der ersten Kraft, ${\vec {F}}_{2}=-{\vec {F}}_{1}$, so ist die resultierende Kraft auf den Körper null, und die Translationsbewegung ändert sich nicht. Trotzdem bewirkt das Kräftepaar ein Drehmoment und dadurch eine Veränderung der Drehbewegung. Dabei ist neben der Größe der beiden Kräfte ${\vec {F}}_{1}$ und ${\vec {F}}_{2}$ auch der Abstand der beiden Punkte, an denen die Kräfte angreifen, von Bedeutung. Der Abstand ${\vec {r}}$ ist ein Vektor, der vom Angriffspunkt der Kraft ${\vec {F}}_{2}$ zum Angriffspunkt von ${\vec {F}}_{1}$ zeigt. Zum Drehmoment trägt nur die Komponente $r'$ von ${\vec {r}}$ bei, die senkrecht auf der Richtung der Kraft ${\vec {F}}_{1}$ (oder ${\vec {F}}_{2}$) steht. $r'$ ist der Abstand, in dem die beiden Kräfte wirken.

Datei:Rechte Daumen Regel.png

Rechte-Hand-Regel: Die Finger zeigen in Richtung der Drehbewegung, der Daumen in Richtung des resultierenden Drehmomentes

Der Betrag des Drehmomentes ist dann das Produkt von $|{\vec {F}}_{1}|$ mit $r'$, und die Richtung des Drehmomentes ist senkrecht zu der Ebene, die durch die Kraft ${\vec {F}}_{1}$ und den Abstandsvektor ${\vec {r}}$ aufgespannt wird, und zwar in der Richtung, in die der Daumen zeigt, wenn man mit den gekrümmten Fingern der rechten Hand in Richtung der durch das Drehmoment hervorgerufenen Drehbewegung zeigt. Diese Definition hat sich für die notwendigen Berechnungen innerhalb der Technischen Mechanik bewährt, jedoch kann mit der gleichen Berechtigung ein Drehmoment definiert werden, das auf einer „Linken-Hand-Regel“ basiert.

Dieser Zusammenhang zwischen den auf den Körper wirkenden Kräften, dem Abstandsvektor der beiden Angriffspunkte und dem Drehmoment (in Betrag und Richtung) wird in kompakter Form durch das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) ausgedrückt. In dieser Darstellung erhält man für das Drehmoment ${\vec {M}}$ die Definition:

${\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}_{1}$.

Die physikalische Dimension des Drehmomentes ist damit das Produkt aus Kraft und Weg. Im SI-System hat es die (abgeleitete) Maßeinheit Newton-Meter ($\mathrm {Nm=kg\,m^{2}/s^{2}}$).

Vergleich mit der Translationsbewegung

Das Verständnis des Drehmomentes kann ein Vergleich der bei einer Drehbewegung auftretenden Größen mit den charakteristischen Größen der Translationsbewegung erleichtern:

Vorlage:Highlight1 width="50%" | Translationsbewegung	Vorlage:Highlight1 width="50%" | Rotationsbewegung
Strecke ${\vec {x}}$	Winkel ${\vec {\varphi }}$ (Positiver Drehsinn entsprechend der Rechte-Hand-Regel entgegen dem Uhrzeigersinn)
Geschwindigkeit ${\vec {v}}={\dot {\vec {x}}}$	Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\omega }}={\dot {\vec {\varphi }}}$
Beschleunigung ${\vec {a}}={\dot {\vec {v}}}={\ddot {\vec {x}}}$	Winkelbeschleunigung ${\vec {\alpha }}={\dot {\vec {\omega }}}={\ddot {\vec {\varphi }}}$
Masse $m$ (Skalar)	Trägheitstensor $\Theta$ (Tensor zweiter Stufe)
Impuls $p=mv$	Drehimpuls ${\vec {L}}=\Theta \cdot {\vec {\omega }}$
Vorlage:Highlight2 align="center" colspan="2" | Bewegungsgleichungen
Allgemein: Kraft ist mit Impulsänderung verknüpft ${\vec {F}}={\dot {\vec {p}}}$ Im Falle konstanter Masse $m$: ${\vec {F}}=m\,{\vec {a}}$	Allgemein: Drehmoment ist mit Drehimpulsänderung verknüpft ${\vec {M}}={\dot {\vec {L}}}$ Im Falle konstanten Trägheitsmoments $J$: ${\vec {M}}=J\cdot {\vec {\alpha }}$