Planck-Einheiten

Die Planck-Einheiten Max Plancks, einer der Mitbegründer der Quantentheorie, markieren eine Grenze für die Gültigkeit der bekannten Gesetze der Physik. Man muss davon ausgehen, dass für Distanzen kleiner als die Planck-Länge (ca. 10^-35 m) und Zeiten kürzer als die Planck-Zeit (ca. 10^-43 s) Raum und Zeit ihre uns vertrauten Eigenschaften als Kontinuum verlieren. Jedes Objekt, das kleiner wäre als die Planck-Länge, hätte aufgrund der sog. Unschärferelation so viel Energie bzw. Masse, dass es zu einem Schwarzen Loch kollabieren würde (s. u.). Die Suche nach einer entsprechenden Theorie der so genannten Quantengravitation gehört zu den größten Herausforderungen der physikalischen Grundlagenforschung.

Die Planck-Einheiten bilden ein natürliches System von Einheiten für Länge, Zeit und Masse, das sich aus den drei grundlegendsten Naturkonstanten herleitet, der Gravitationskonstante G, der Lichtgeschwindigkeit c und dem planckschen Wirkungsquantum h. Es ist durchaus angemessen und auf dem Gebiet der Quantengravitation auch üblich, die Planck-Einheiten selbst als die fundamentalen Naturkonstanten zu interpretieren und G, c und h als die abgeleiteten.

Allgemeinverständliche Definitionen

Die Planck- Masse von etwa 10^-8 kg ist die Masse deren Ortsunschärfe gleich ihrem Ereignishorizont ist. Sie beträgt etwa die Masse eines Staubkörnchens. Nur bei der Planck-Masse sind diese beiden Größen gleich.

Die Planck- Länge von etwa 10^-35 m ist der Radius des Ereignishorizonts der Planck- Masse. Kleinere Längen sind physikalisch irrelevant, weil man nicht zwischen Anfang und Ende unterscheiden kann.

Die Planck- Zeit von etwa 10^-44 s ist die Dauer die ein Lichtstrahl braucht um die Planck- Länge zu durchlaufen. Kleinere Zeiten sind physikalisch irrelevant weil Raum und Zeit nicht möglich sind, sie schwanken, Information ist nicht möglich, man kann nicht Ursache und Wirkung auseinanderhalten.

Die Planck- Dichte von etwa 10⁹⁶ kg/m³ würde man erreichen, wenn man die Planck- Masse in eine Kugel mit dem Radius ihres Ereignishorizonts hineinquetschte. Man hätte eine Dichte von $10^{93}$ mal der Dichte von Wasser. Das war die Anfangsdichte des Universums. Bei dieser Massendichte ist die Fluchtgeschwindigkeit grüßer als die Lichtgeschwindigkeit- also ähnlich dem Zustand eines Schwarzen Loches.

Die Planck- Temperatur bzw. die Planck- Energie von etwa 10³² K ist die über E = m c² und E=kT der Planck- Masse zugeordnete Temperatur. Das war die Anfangstemperatur des Universums und zugleich dessen „Curietemperatur“ d.h. die Temperaturgrenze unter der erstmals eine Separierung der Grundkräfte der Physik auftrat.

Konsequenzen

Die vorstehend angeführten fünf Planck’schen fundamentalen Grundeinheiten beschreiben den Zustand des Universums am Anfang, nach dem weitestgehend anerkannten Urknallmodell.

Das Universum hatte die Planck’sche Masse 1, die Planck’sche Länge 1 (bzw. deren Raumzeitäquivalent), das Alter der Planck’schen Zeit 1 (nicht die Zeit 0!), die Planck’sche Dichte 1, und die Planck’sche Temperatur 1. Diese Grundgrößen müssen also- wenn unsere Vorstellungen von der Natur nicht völlig falsch sind- wesentliche Bestandteile der noch zu entwickelnden Theorie von Allem sein.

Ein weit durch das Universum laufender Lichtstrahl müsste dieses o.e. Schwanken von Raum und Zeit bemerken, die Bilder weitester kosmischer Objekte müssten unscharf sein. Dieser Quantengravitationseffekt ist derzeit (2006) nicht nachgewiesen.

Zum Vergleich von anderen Objekten mit der o.e. Planck’schen Masse: Die Ortsunschärfe eines, vergleichsweise viel leichteren, Protons liegt bei etwa $10^{-15}$ m, während der Ereignishorizont bei $10^{-54}$ m liegt. Das heißt: masseärmere Objekte als ein Staubkörnchen haben eine- relativ zum Ereignishorizont- zu große Ortsunschärfe und können deshalb auch bei massivster Verdichtung nicht zu einem schwarzen Loch werden. Der Ereignishorizontradius der viel schwereren Sonne beträgt bei stärkster denkbarer Komprimierung etwa 3 km. Die Ortsunschärfe nur $10^{-72}$ m. Bei dieser Massendichte innerhalb eines Radius von 3 km kann keine Information in der Sonne existieren, oder sie gar verlassen. Sie wäre dann- wie die Plankmasse am Anfang des physikalisch beschreibbaren Universums- eine Singularität, ein Schwarzes Loch, innerhalb dessen die Gesetze unserer heutigen Physik aufhören zu existieren. Der Unterschied zu allen anderen schwarzen Löchern ist, daß diese Anfangssingulatität alles- also alles was jemals in Raum und Zeit existiert hat, jetzt existiert und jemals existieren wird-, also das Universum per Def., in sich trug. Denkbar wäre auch demgemäß für intelligente Lebewesen nur die labormäßige Produktion von kleinsten, kurzlebigen schwarzen Löchern, durch die Komprimierung von Objekten die schwerer als ein Staubkorn sind, was technologisch derzeit unmöglich erscheint.

Eingerollte, kompaktifizierte Dimensionen und vibrierende eindimensionale Saiten, wie sie von den Stringtheorien angenommen werden, müssen folglich gleich der Planck’schen Länge sein. In der Theorie der Schleifenquantengravitation entsprechen die Knotenabstände des den Raum bildenden Netzes ebenfalls der Planck’schen Länge. Ein Kubikzentimeter hat danach $10^{99}$ Knoten. Zum Vergleich sei erwähnt, dass das sichtbare Universum dagegen lediglich $10^{85}$ cm³ enthält. Der Radius des Universums beträgt etwa $10^{60}$ Planck- Längen, sein Alter ca. $10^{60}$ Planck- Zeiten.

Die Frage nach dem Schwereren, Kleineren, Davor, Dichteren und Heisseren, jenseits der grundlegenden Planck’schen Einheiten, ist nicht mehr Teil des naturwissenschaftlichen Weltbildes. Den Zustand vor (Diese Frage ist transzendent, es gibt in der Planckwelt kein vor, da die Zeit noch nicht existierte!) dem hier beschriebenen Anfang des Universums könnte man poetisch als zeitlose reine Energie, fluktuierendes Vakuum oder den Omegapunkt des Anfangs bezeichnen. Der Gottesbegriff bzw. eine Creatio ex nihilo steht in diesem Zusammenhang im Gegensatz zu noch weiterreichenden gedanklichen Konzepten wie z.B. den Hypothesen vom Multiversum oder die Viele-Welten-Interpretation.

Wissenschaftliche Definitionen

Die Planck-Einheiten ergeben sich aus einer einfachen Dimensionsbetrachtung, das heißt einer Suche nach einem mathematischen Ausdruck von der Dimension einer Länge, Zeit bzw. Masse, der nur Produkte und Quotienten von geeigneten Potenzen von G, c und $\hbar$ enthält, wobei $2\pi \hbar =h$:

Name	Quantität	Term	Ungefähres SI Äquivalent	Andere Äquivalente
Planck-Masse	Masse (M)	$m_{\rm {P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}$	2,17645 · 10-8 kg	1,311 · 1019 u
Planck-Länge	Länge (L)	$l_{\rm {P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}$	1,61624 · 10-35 m
Planck-Zeit	Zeit (T)	$t_{\rm {P}}={\frac {l_{\rm {P}}}{c}}={\frac {\hbar }{m_{\rm {P}}c^{2}}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}$	5,39121 · 10-44 s
Planck-Dichte	Dichte (ML-3)	$\rho _{\rm {P}}={\frac {m_{\rm {P}}}{l_{\rm {P}}^{3}}}={\frac {\hbar t_{\rm {P}}}{l_{\rm {P}}^{5}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}$	5,15500 · 1096 kg/m3
Planck-Temperatur	Temperatur (Θ)	$T_{\rm {P}}={\frac {m_{\rm {P}}c^{2}}{k}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{Gk^{2}}}}$	1,41679 · 1032 K

Neben diesen fünf Grundgrößen werden auch folgende abgeleitete Größen verwendet:

Name	Quantität	Term	Ungefähres SI Äquivalent	Andere Äquivalente
Planck-Impuls	Impuls (MLT-1)	$m_{\rm {P}}c={\frac {\hbar }{l_{\rm {P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}$	6,52485 kg m/s
Planck-Energie	Energie (ML2T-2)	$E_{\rm {P}}=m_{\rm {P}}c^{2}={\frac {\hbar }{t_{\rm {P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}$	1,9561 · 109 J
Planck-Kraft	Kraft (MLT-2)	$F_{\rm {P}}={\frac {E_{\rm {P}}}{l_{\rm {P}}}}={\frac {\hbar }{l_{\rm {P}}t_{\rm {P}}}}={\frac {c^{4}}{G}}$	1,21027 · 1044 N
Planck-Leistung	Leistung (ML2T-3)	$P_{\rm {P}}={\frac {E_{\rm {P}}}{t_{\rm {P}}}}={\frac {\hbar }{t_{\rm {P}}^{2}}}={\frac {c^{5}}{G}}$	3,62831 · 1052 W
Planck-Ladung	Ladung (Q)	$q_{\rm {P}}={\sqrt {\hbar c4\pi \epsilon _{0}}}$	1,8755459 · 10-18 C	11,70624 e
Planck-Kreisfrequenz	Frequenz (T-1)	$\omega _{\rm {P}}={\frac {1}{t_{\rm {P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}$	1,85487 · 1043 s-1
Planck-Druck	Druck (ML-1T-2)	$p_{\rm {P}}={\frac {F_{\rm {P}}}{l_{\rm {P}}^{2}}}={\frac {\hbar }{l_{\rm {P}}^{3}t_{\rm {P}}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}$	4,63309 · 10113 Pa
Planck-Strom	Elektrischer Strom (QT-1)	$I_{\rm {P}}={\frac {q_{\rm {P}}}{t_{\rm {P}}}}={\sqrt {\frac {c^{6}4\pi \epsilon _{0}}{G}}}$	3,4789 · 1025 A
Planck-Spannung	Elektrische Spannung (ML2T-2Q-1)	$V_{\rm {P}}={\frac {E_{\rm {P}}}{q_{\rm {P}}}}={\frac {\hbar }{t_{\rm {P}}q_{\rm {P}}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{G4\pi \epsilon _{0}}}}$	1,04295 · 1027 V
Planck-Impedanz	Widerstand (ML2T-1Q-2)	$Z_{\rm {P}}={\frac {V_{\rm {P}}}{I_{\rm {P}}}}={\frac {\hbar }{q_{\rm {P}}^{2}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}$	29,9792458 Ω

Dabei ist k_B die Boltzmann-Konstante. Die Planck-Fläche spielt insbesondere in Stringtheorien und bei Überlegungen zur Entropie Schwarzer Löcher in Zusammenhang mit dem holografischen Prinzip eine wichtige Rolle.

Rolle als Einheitensystem

Löst man die ersten drei Gleichungen nach G, c und $\hbar$ auf, so erhält man Ausdrücke, die analog nur Potenzen von l_p, t_p und m_p enthalten, aber keine Zahlenfaktoren. Die Naturkonstanten G, c und $\hbar$ haben daher in Planck-Einheiten jeweils den Zahlenwert 1. Formuliert man Gleichungen, die diese Naturkonstanten enthalten, in Planck-Einheiten, so können sie daher entfallen, was in bestimmten Disziplinen der theoretischen Physik die Gleichungen deutlich vereinfacht, wie beispielsweise in der allgemeinen Relativitätstheorie und in den verschiedenen Ansätzen für eine Quantengravitation.

Die Gravitationskonstante ist mit einem relativen Fehler von etwa 1/7000 vergleichsweise ungenau bekannt. Da sich diese Ungenauigkeit auf die Kenntnis der Planck-Einheiten überträgt, sind sie als Einheitensystem für die Experimentalphysik von untergeordneter Bedeutung. Dazu trägt auch ihre geringe Größe bei, die selbst bei den kleinsten derzeit zugänglichen Messwertbereichen zu extrem großen Zahlenwerten führen würde.

Planck-Einheiten und die Grenzen naturwissenschaftlicher Erkenntnis

Die Planck-Länge l_P ist ca. 10²⁰ mal kleiner als der Durchmesser des Protons und damit weit jenseits einer direkten experimentellen Zugänglichkeit. Wollte man derartig kleine Strukturen mit einem Teilchenbeschleuniger untersuchen, so müsste die De-Broglie-Wellenlänge der verwendeten Teilchen vergleichbar mit l_P sein, bzw. ihre Energie vergleichbar mit E_P. Die über E = mc² zugeordnete Masse wäre über 10¹⁶ mal größer als die Masse des schwersten bekannten Elementarteilchens, des Top-Quarks. Ein entsprechender Beschleuniger hätte mindestens den Durchmesser unseres Sonnensystems.

Diese Überlegung markiert eine bedeutende Grenze für die derzeit absehbaren Möglichkeiten der Experimentalphysik. Der einzige denkbare Prozess, bei dem vergleichbare Energien aufgetreten sein könnten, ist das Universum ungefähr eine Planck-Zeiteinheit nach dem hypothetischen Urknall. Die Planck-Einheiten lassen sich daher als ein Indiz dafür werten, dass eine Vereinigung von Quanten- und Relativitätstheorie sowie ein erschöpfendes Verständnis des Urknalls und damit des Universums und seiner Existenz sich jenseits der praktischen Möglichkeiten naturwissenschaftlicher Erkenntnis befinden könnten.

Die Planck-Einheiten als Grenze der Gültigkeit der bekannten Physik

Wie oben bereits angedeutet, führt die gleichzeitige Anwendung der Gesetze der Quantenmechanik und der Allgemeinen Relativitätstheorie bei hinreichend kleinen räumlichen und zeitlichen Abständen zu Problemen, wie die folgende Überlegung zeigt: Befindet sich ein Objekt oder Teilchen in einem Raumgebiet mit dem Durchmesser $\Delta x$, so hat ist aufgrund der Unschärferelation sein Impuls nur bis auf $\Delta p$ genau bestimmbar, wobei

$\Delta x\cdot \Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}$

gilt. Das bedeutet, dass der Impuls im Bereich $\Delta p<{\frac {\hbar }{2\Delta x}}$ schwanken kann, ohne dass dies messbar ist. Selbst für ein Teilchen ohne Ruhemasse ist damit eine Energie E und daher auch eine Mindestmasse m verbunden, wobei

$mc^{2}=E=\Delta pc={\frac {\hbar c}{2\Delta x}}$

Befindet sich die Masse m in einem Raumgebiet mit einem Radius kleiner als ihr Schwarzschildradius

$r={\frac {2Gm}{c^{2}}}$

so wird sie zum Schwarzen Loch. Das ist durch die Wahl eines hinreichend kleinen x erreichbar, denn mit einer Verkleinerung von $\Delta x$ wächst $\Delta p$ und damit auch m und r bis schließlich $r\approx \Delta x$ wird. Diese Situation entzieht sich jedoch einer Beschreibung durch die bekannte Physik. Man erhält die Formel für die Planck-Länge und Planck-Masse, indem man $r=\Delta x$ setzt und die beiden letzten Gleichungen nach r und m auflöst.

Zum gleichen Konflikt führt auch die Vorstellung eines Vorganges, der kürzer als die Planck-Zeit wäre. Die Planck-Zeit ist die Zeit, die das Licht benötigt, um die Strecke einer Planck-Länge zurückzulegen. Da sich nichts schneller als das Licht bewegen kann, müsste ein solcher Vorgang in einem Objekt stattfinden, das kleiner als die Planck-Länge wäre.

Die Vermutung, dass die Gesetze der konventionellen Physik im Bereich der Planck-Einheiten ihre Gültigkeit verlieren, wird auch dadurch gestützt, dass die Renormierungsprozesse in der Quantenfeldtheorie nur unter der Annahme wohldefiniert sind, dass die Vorstellung von Raum und Zeit als Kontinuum nur bis zu einer gewissen mikroskopischen Grenze gültig ist. Ein Versagen der Kontinuums-Theorie würde letztlich die Zenonschen Paradoxien auf eine naturwissenschaftliche Basis stellen.

Geschichte

Planck entdeckte die letzte zur Definition der Planck-Einheiten erforderliche Naturkonstante, das nach ihm benannte Wirkungsquantum. Er erkannte die Möglichkeit, damit ein universell gültiges System von Einheiten zu definieren und erwähnte diese bereits im Mai 1899 in seiner Publikation mit dem Titel „Über irreversible Strahlungsvorgänge“ in Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften (Band 5, S. 479, 1899). Zu dieser Zeit war die Quantenmechanik noch gar nicht entdeckt. Erst im Dezember 1900 publizierte er seine Arbeit zur Theorie der Strahlung eines Schwarzen Körpers, in der die später nach ihm benannte Konstante erstmals mit h bezeichnet wurde, und für die er 1919 den Nobelpreis für Physik für das Jahr 1918 erhielt. Das folgende Zitat vermittelt einen Eindruck von dem Stellenwert, den Planck diesen Einheiten einräumte:

„… ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch außerirdische und außermenschliche Culturen nothwendig behalten und welche daher als „natürliche Maaßeinheiten“ bezeichnet werden können …“

– Max Planck

Weblinks

[1] aus der Fernseh-Sendereihe alpha-Centauri (ca. 15 Minuten). Erstmals ausgestrahlt am  .