Dualsystem

{ |} und nicht wie im Dezimalsystem durch

1\cdot 10^{3}+1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+1\cdot 10^{0}=[1101]_{10}

.

Die Klammerung der Resultate mit der tiefgestellten 2 beziehungsweise der 10 gibt die Basis des verwendeten Stellenwertsystems an. So kann leicht erkannt werden, ob die Zahl im Dual- oder im Dezimalsystem dargestellt ist. In der Literatur werden die eckigen Klammern oft weggelassen und die tiefergestellte Zahl wird dann manchmal in runde Klammern gesetzt. Ebenfalls möglich ist die Kennzeichnung durch den nachgestellten Großbuchstaben B (für binär).

Verschiedene Darstellungsformen der Zahl elf im Dualsystem:

[1011]₂
1011₂
1011₍₂₎
1011B
HLHHines [[Mi' hat Shannons Arbeit die Konstruktion digitaler Schaltkreise begründet.

Im November 1937 vollendete George Stibitz, der später bei den Bell Labs arbeitete, seinen Relais-gestützten Rechner „Modell K“ (nach „K“ für „Küche“, wo er ihn zusammengebaut hat), der die Addition im Dualsystem beherrschte.

1941 konstruierte Konrad Zuse den ersten programmierbaren Binärrechner, den Z3.

Anwendung

Leibniz empfand schon Ende des 17. Jahrhunderts die Dyadik (dyo, griech. = Zwei), also die Darstellung von Zahlen im Dualsystem, die er entwickelte als sehr wichtig. Er sah darin ein so überzeugendes Sinnbild des christlichen Glaubens, dass er damit den chinesischen Kaiser Kangxi überzeugen wollte. Dazu schrieb er an den französischen Jesuitenpater Bouvet:

„Zu Beginn des ersten Tages war die 1, das heißt Gott. Zu Beginn des zweiten Tages die 2, denn Himmel und Erde wurden während des ersten geschaffen. Schließlich zu Beginn des siebenten Tages war schon alles da; deshalb ist der letzte Tag der vollkommenste und der Sabbat, denn an ihm ist alles geschaffen und erfüllt, und deshalb schreibt sich die 7 111, also ohne Null. Und nur wenn man die Zahlen bloß mit 0 und 1 schreibt, erkennt man die Vollkommenheit des siebenten Tages, der als heilig gilt, und von dem noch bemerkenswert ist, dass seine Charaktere einen Bezug zur Dreifaltigkeit haben.“

Da die feinmechanischen Fertigkeiten der damaligen Zeit nicht ausreichten, musste Leibniz beim Bau seiner Rechenmaschinen auf das Dezimalsystem zurückgreifen.

Bei der späteren Entwicklung von elektronischen Rechenmaschinen erlangte das Dualsystem allerdings große Bedeutung, denn in der Digitaltechnik werden Zahlen durch elektrische Zustände dargestellt. Bevorzugt werden zwei komplementäre Zustände wie Strom an/Strom aus oder Spannung/Masse verwendet, da auf diese Weise sehr fehlerresistente und einfache Schaltungen zu realisieren sind (siehe Binärcode). Diese zwei Zustände lassen sich dann als Ziffern benutzen. Das Dualsystem ist die unkomplizierteste Methode mit Zahlen zu rechnen, die durch diese zwei Ziffern dargestellt werden.

Dualzahlen finden in der elektronischen Datenverarbeitung bei der Darstellung von Festkommazahlen oder ganzen Zahlen Verwendung. Negative Zahlen werden vor allem als 2-Komplement dargestellt, welches nur im positiven Bereich der Dualzahlendarstellung entspricht. Um näherungsweise rationale oder gar reelle Zahlen darzustellen, werden vorzugsweise Fließkommadarstellungen verwendet, bei der die Zahl normalisiert und in Mantisse und Exponent aufgeteilt wird. Diese beiden Werte werden dann in Form von Dualzahlen gespeichert.

Grundrechenarten im Dualsystem

Analog zu den Zahlen im Dezimalsystem lassen sich mit Dualzahlen die gängigen arithmetischen Grundoperation Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen. Tatsächlich werden die benötigten Algorithmen sogar einfacher und lassen sich effizient mit logischen Schaltungen elektronisch realisieren. Die Einführung von Dualzahlen in der Rechentechnik brachte daher viele Vorteile.

Addition	Beispiel
0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10	${{\begin{matrix}&1011_{2}\\\operatorname {+} &\ \ \ 11_{2}\\\end{matrix}} \over {\begin{matrix}&\ \ 1110_{2}\\\end{matrix}}}$

1 - 0 = 1
1 - 1 = 0

{\begin{matrix}&1011_{2}\\\operatorname {-} &\ \ 111_{2}\\\end{matrix}} \over {\begin{matrix}&\ \ \ 100_{2}\end{matrix}}

|----- | style="vertical-align:top;"|

Multiplikation	Beispiel
0 $\cdot$ 0 = 0 0 $\cdot$ 1 = 0 1 $\cdot$ 0 = 0 1 $\cdot$ 1 = 1	${\begin{matrix}&1010_{2}\\{\cdot }&\ \ \ 11_{2}\\\end{matrix}} \over {\begin{matrix}&11110_{2}\end{matrix}}$

||

Division	Beispiel
0 / 0 = n.def. 0 / 1 = 0 1 / 0 = n.def. 1 / 1 = 1	${\begin{matrix}&1010_{2}\\{/}&\ \ \ 10_{2}\\\end{matrix}} \over {\begin{matrix}&\ \ \ 101_{2}\end{matrix}}$

|}

Schriftliche Addition

$A$	$B$	$M_{1}$	$M_{2}$	$E$
0	0	0	0	0
1	0	0	0	1
1	0	1	1	0
1	1	0	1	0
1	1	1	1	1

Eine Zahl im Dualsystem kann von der anderen wie im folgenden Beispiel dargestellt subtrahiert werden:

${\begin{matrix}&1&1&0&1&1&1&0\\-&&&1&0&1&1&1\\&&{}_{1}&&{}_{1}&{}_{1}&{}_{1}&\end{matrix}} \over {\begin{matrix}=&1&0&1&0&1&1&1\end{matrix}}$

Hier wird die Subtraktion 110 - 23 = 87 durchgeführt. Die kleinen Einsen in der dritten Reihe zeigen den Übertrag. Das Verfahren ist das Gleiche, wie es in der Schule für das Dezimalsystem unterrichtet wird. Etwas ungewohnt sieht der Fall 0-1 aus. Zum Beispiel im Fall 2 − 9 im Dezimalsystem, denkt man sich eine Zehnerstelle vor die Zwei, wodurcht sich die Subtraktion 12 − 9 ergibt. Die gedachte Zehnerstelle wird dann als Übertrag an die nächste Stelle weitergereicht. Im Dualsystem geschieht das Gleiche. Aus 0 − 1 wird 10 − 1. Es kann als Ergebnis also eine 1 hingeschrieben werden, die vor die 0 gedachte Eins muss dann als Übertrag an die nächste Stelle geschrieben und von dieser zusätzlich abgezogen werden.

Das Verfahren funktioniert (wie auch im Dezimalsystem) nicht, wenn der Minuend kleiner ist als der Subtrahend.

Die Subtraktion einer postiven Zahl ergibt das selbe Ergebnis wie die Addition zu einer negativen Zahl mit dem gleichen Betrag.

Schriftliche Multiplikation

Um Binärzahlen mutliplizieren zu können, muss man mehrere Schritte durchführen, um ans Ziel zu gelangen. Das Resultat hat so viele Ziffern, wie beide Faktoren zusammen.

Als Beispiel seien hier:

FaktorA = 1100 (12)
FaktorB = 1101 (13)
Ergebnis = 10011100 (156)

So b werden:

       1100
 ×     1101
 ----------
 +     1100  ← erste Ziffer "1"
 +       0   ← da der Multiplikator "0" ist, steht hier eine "0" um keine Stelle zu vergessen, fügt man eine "0" ein
 +   1100    ← erst hier wird wieder gerechnet, weil die zweite Ziffer "0" ist und dritte erst wieder "1"
 +  1100     ← vierte Ziffer "1"
 ----------
 = 10011100
 ==========

Schriftliche Division

Am Beispiel der Division von 1000010 / 11 (entspricht 66:3 im Dezimalsystem)

    1000010 ÷ 11 = 10110 Rest 0 (= 22 im Dezimalsystem)
  - 011
  -----
    00100
    - 011
     ----
      0011
     - 011
     -----
        000
      -  00
        ---
          0

Umrechnen von Dualzahlen in andere Stellenwertsysteme

Durch die kleine Basis ergibt sich der Nachteil, dass Zahlen im Verhältnis zu Dezimalzahlen relativ lang und schwer zu überschauen sind (siehe Tabelle unten). Dies hat zur Verbreitung des Hexadezimalsystems geführt, welches die Basis 16 besitzt. Da 16 eine Potenz von 2 ist, ist es besonders einfach möglich, Dualzahlen in Hexadezimalzahlen umzurechnen. Dazu werden je vier Stellen der Dualzahl durch eine Hexadezimalstelle ersetzt, was auch die Länge der dargestellten Zahlen um den Faktor vier verringert. Die Hexadezimalziffern mit dem Wert 0-15 werden in der Regel durch die Ziffernsymbole 0-9 und die Großbuchstaben A-F (für die Werte 10-15) dargestellt. Dadurch sind sie verhältnismäßig gut lesbar, so lässt sich zum Beispiel leicht feststellen, dass EDA5₍₁₆₎ größer ist als ED7A₍₁₆₎ wo hingegen sich die entsprechenden Dualzahlen 1110110110100101₍₂₎ und 1110110101111010₍₂₎ nicht so schnell überblicken lassen.

Dualsystem	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
Oktalsystem	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17
Dezimalsystem	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Hexadezimalsystem	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

Vom Dualsystem ins Dezimalsystem

Um eine Dualzah