Rang (Lineare Algebra)

Der Rang ist innerhalb der Mathematik ein Begriff aus dem Teilgebiet der linearen Algebra. Man ordnet ihn einer linearen Abbildung oder einer Matrix zu. Übliche Schreibweisen sind $\mathrm {rang} (f)$ und $\mathrm {rg} (f)$. Selten wird auch die englische Schreibweise $\mathrm {rank} (f)$ benutzt.

Bei einer linearen Abbildung ist der Rang als Dimension des Bildes dieser Abbildung definiert:

$\mathrm {rang} (f)=\dim(\mathrm {im} (f))$

Zu einer Matrix existiert ein Zeilenrang und ein Spaltenrang. Der Zeilenrang ist dabei die Dimension des von den Zeilenvektoren aufgespannten Vektorraums und entspricht der maximalen Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren. Entsprechendes gilt für den Spaltenrang. Man kann zeigen, dass Zeilen- und Spaltenrang einer Matrix identisch sind und spricht deshalb vom Rang der Matrix.

Fasst man eine Matrix als Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung auf, so besitzen die Matrix und die lineare Abbildung den gleichen Rang.

Der Rang eines Systems aus endlich vielen Vektoren entspricht der Dimension seiner linearen Hülle.

Berechnung

Um den Rang einer Matrix zu bestimmen, formt man diese mittels des gaußschen Eliminationsverfahrens in eine äquivalente Matrix in Stufenform um. Die Anzahl der Zeilenvektoren, die ungleich $0$ sind, entspricht dann dem Rang der Matrix.

Beispiele:

• $A={\begin{bmatrix}1&2&3\\0&5&4\\0&10&2\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&2&3\\0&5&4\\0&0&-6\end{bmatrix}}\Rightarrow \mathrm {rang} (A)=3$

• $B={\begin{bmatrix}1&2&3\\0&6&4\\0&3&2\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&2&3\\0&6&4\\0&0&0\end{bmatrix}}\Rightarrow \mathrm {rang} (B)=2$

Eigenschaften

• Die einzige Matrix mit Rang $0$ ist die Nullmatrix.
• Für den Rang einer $m\times n$-Matrix gilt:

  $\mathrm {rang} (A)\leq \mathrm {min} (m,n)$

• Der Rang einer invertierbaren Matrix ist durch die Anzahl ihrer Spalten bzw. Zeilen gegeben.
• Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn die Abbildungsmatrix vollen Spaltenrang hat: $\mathrm {rang} (A)=n$
• Eine lineare Abbildung ist genau dann surjektiv, wenn die Abbildungsmatrix vollen Zeilenrang hat: $\mathrm {rang} (A)=m$
• Rangsatz (Zusammenhang zwischen dem Rang und dem Defekt einer linearen Abbildung):

  $\dim V=\mathrm {rang} (f)+\mathrm {def} (f)$