Stammbruch

In der Mathematik ist ein Stammbruch ein Bruch der Form

${\frac {1}{n}}$,

wobei $n$ eine Natürliche Zahl größer 1 ist.

Beispiele sind ${\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}$. Keine Stammbrüche sind z.B. ${\frac {2}{3}},{\frac {7}{4}}$.

Jeder Bruch der Form ${\frac {a}{b}}$ mit natürlichen Zahlen $a,b$ kann als Summe von Stammbrüchen (und einer natürlichen Zahl, falls $a>b$) dargestellt werden. Z.B. ist

${\frac {2}{3}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}},{\frac {7}{4}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}$.

Ein Verfahren zur Stammbruchentwicklung besteht darin, zunächst den ganzzahligen Anteil abzuziehen, und dann jeweils den größten Stammbruch, der kleinergleich dem Rest ist (der gierige Algorithmus). Dieses Verfahren endet stets nach endlich vielen Schritten, liefert jedoch nicht immer die kürzestmögliche Darstellung als Summe von Stammbrüchen. Zum Beispiel liefert dieses Verfahren die Darstellung

${\frac {59}{120}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{65}}+{\frac {1}{10920}}$

es gibt aber die kürzere Darstellung

${\frac {59}{120}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{8}}$

Geschichte

Die alten Ägypter kannten nur Brüche mit ganzzahligem Nenner und Zähler, wobei der Zähler kleiner als der Nenner ist. Da sie außer für 2/3 nur Hieroglyphen für Stammbrüche hatten, mussten sie alle Brüche in Summen von Stammbrüchen zerlegen.

Leonardo Fibonacci veröffentlichte seinen Algorithmus im „liber abanaci“ (1202). Der Beweis zur allgemeinen Gültigkeit des Algorithmus gelang erst 1880 dem britischen Mathematiker James Joseph Sylvester.