Formelsammlung Geometrie

Die Formelsammlung zur Geometrie ist ein Teil der Formelsammlung, in der auch Formeln der anderen Fachbereiche zu finden sind.

Geometrie in der Ebene

Winkel

Nebenwinkel Die Summe von Nebenwinkeln beträgt 180°.	Datei:Nebenwinkel.png
Scheitelwinkel Scheitelwinkel sind gleich groß.
Stufenwinkel Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß.
Wechselwinkel Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß.
Außenwinkel Im Dreieck ist ein Außenwinkel gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.
Winkelsummen Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist immer 180° Die Summe der Innenwinkel in einem Viereck ist immer 360° Die Summe der Innenwinkel in einem n-Eck ist immer (n-2)*180°

Teilung einer Strecke

Verhältnisteilung

Um eine Strecke AB in einem bestimmten Verhältnis (in n gleiche Teile) zu teilen, zeichne man zunächst einen beliebigen Strahl von A aus, der nicht parallel zu AB ist, auf diesem trage man n mal dieselbe Strecke ab, verbinde deren Endpunkt C mit B und zeichne die Parallelen zu BC durch die bei der Unterteilung von AC entstandenen Punkte, deren Schnittpunkte mit AB teilen AB in n gleiche Teile.

Datei:TeilungEinerStrecke.png

Dreieck

• Benennung der Seiten und Winkel

Der Innenwinkel beim Eckpunkt A nennt man $\alpha$ (griechische Kleinbuchstaben) Die Dreiecksseite (bzw. deren Länge) gegenüber der Ecke A nennt man a

• Gleichseitiges Dreieck

Alle Seiten sind gleich lang Alle Winkel sind gleich groß (60°) Höhenlinien = Symmetrieachsen = Winkelhalbierende = Seitenhalbierende

• Gleichschenkliges Dreieck

2 Seiten sind gleichlang (Schenkel a und b) Die zwei Basiswinkel ($\alpha$ und $\beta$)sind gleich groß Die Höhenlinie halbiert den Winkel $\gamma$ Die Höhenlinie halbiert die Basis c

• Rechtwinkliges Dreieck

$\alpha$ + $\beta$ = 90° Hypotenuse = längste Seite = Seite gegenüber 90°-Winkel Satz des Pythagoras: (Kathete a)2 + (Kathete b)2 = (Hypotenuse c)2

• Schnittpunkt der Seitenhalbierenden

Die Seitenhalbierenden (Schwerlinien) schneiden sich im Verhältnis 2 : 1. Die Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt S.

• Schnittpunkt der Mittelsenkrechten

1. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten entspricht dem Mittelpunkt des Umkreises.

• Schnittpunkt der Winkelhalbierenden

Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden entspricht dem Mittelpunkt des Inkreises. w$\alpha$ ist die Winkelhalbierende des Winkels $\alpha$.

• Höhenschnittpunkt

Die Höhen schneiden sich in einem Punkt. Die Höhe hc ist die Höhe vom Punkt C aus auf die Seite c. D ist der Höhenfußpunkt von hc.

• Flächenberechnung mit Grundseite und Höhe

$A={\frac {g\cdot h}{2}}$

• Flächenberechnung mit einem Winkel

$A={\frac {b\cdot c\cdot \sin(\alpha )}{2}}$

(b und c sind die den Winkel $\alpha$ einschließenden Seiten)

• Heronsche Formel (Flächenberechnung aus den drei Seitenlängen)

$A={\ {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}}\ \over 4}$

Satzgruppe des Pythagoras

• Satz des Pythagoras

Im rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten:

$\mathbf {a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

• Kathetensatz

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und der Projektion dieser Kathete auf die Hypotenuse:

$a^{2}=p\cdot c,\ b^{2}=q\cdot c$

• Höhensatz

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe auf der Hypotenuse flächengleich mit dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten.

$h^{2}=q\cdot p$

Kongruenzsätze

Zwei Dreiecke sind kongruent bzw. deckungsgleich, wenn sie übereinstimmen in

1. drei Seiten (sss)
2. zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws)
3. zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite (Ssw)
4. einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln (wsw)

Ähnlichkeitssätze

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn

1. drei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben
2. zwei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben und die von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen
3. zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben und die Gegenwinkel der längeren Seiten übereinstimmen
4. zwei Winkel übereinstimmen

Strahlensätze

1. Strahlensatz: Wird ein Zweistrahl durch zwei parallele Geraden geschnitten, so stehen die Strahlenabschnitte des ersten Strahles im gleichen Verhältniss wie die entsprechenden Abschnitte des zweiten Strahles.
2. Strahlensatz: Wird ein Zweistrahl durch zwei parallele Geraden geschnitten, so stehen die Parallelabschnitte im gleichen Verhältniss wie die vom vom Scheitelpunkt aus gemessenen zugehörigen Strahlenabschnitte.

Vierecke

Quadrat (Geometrie)

• Quadrat Umfang:

$U=4\cdot a$

• Quadrat Fläche:

$A=a^{2}$

• Diagonale im Quadrat:

$d=a\cdot {\sqrt {2}}$

Rechteck

• Rechteck Umfang:

$U=2\cdot (a+b)$

• Rechteck Fläche:

$A=a\cdot b$

Raute (Rhombus)

• Raute Umfang:

$U=4\cdot a$

• Raute Fläche:

$A={\frac {1}{2}}\cdot e\cdot f$

$A=a^{2}\cdot \sin(\alpha )$

• Diagonalen in der Raute:

$e^{2}+f^{2}=4\cdot a^{2}$

Parallelogramm

• Parallelogramm Umfang:

$U=2\cdot (a+b)$

• Parallelogramm Fläche:

$A=a\cdot h_{a}=b\cdot h_{b}$

Trapez

Trapez Umfang: $U=a+b+c+d$ Trapez Fläche: $A=m\cdot h$ $m={\frac {1}{2}}(a+c)*h$

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Regelmäßige Vielecke (n-Ecke)

• n = Anzahl der Ecken
• r(u) = Radius des Umkreises, d.h. Entfernung vom Mittelpunkt zu einem Eck
• r(i) = Radius des Inkreises, d.h. Entfernung vom Mittelpunkt zu einer Seitenmitte
• U = Umfang des n-Ecks
• A = Fläche des n-Ecks

Im Bezug auf r(u):

• $U=2*n*r_{u}*\sin({180 \over n})$
• $A={n*r_{u}^{2}*\sin({360 \over n}) \over 2}$

Im Bezug auf r(i):

• $U=2*n*r_{i}*\tan({180 \over n})$
• $A={n*r_{i}^{2}*\tan({360 \over n}) \over 2}$

Kreis, Kreisteile

Umfang: $U=2\cdot \pi \cdot r=\pi \cdot d$ Kreis Fläche: $A=\pi \cdot r^{2}$ [ $\pi$ ~ 3,1415... (siehe Pi (Kreiszahl)) ]

Länge eines Kreisbogens $b=2\cdot \pi \cdot r\cdot {\alpha \over 360^{\circ }}$ Fläche eines Kreisausschnittes (Sektor) $A=\pi \cdot r^{2}\cdot {\alpha \over 360^{\circ }}$

Fläche eines Kreisabschnittes (Segment) $A={{r^{2}} \over {2}}\cdot \left({{{\pi }\cdot {\alpha }} \over {180^{\circ }}}-\sin \alpha \right)$

Ellipse

• Gleichung der Ellipse

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ (a, b Halbachsen der Ellipse)

• Flächeninhalt (Inneres der Ellipse)

$A=2\cdot \int _{-a}^{a}{\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}-b^{2}x^{2}}{a^{2}}}}\ dx=\pi ab$

• D = großer Durchmesser, d = kleiner Durchmesser

$A={\frac {\pi }{4}}D\cdot d$

Geometrie der Körper

Kegel

• Volumen von senkrechten und schrägen Kegeln

$V={1 \over 3}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot h$

• Mantel von senkrechten Kegeln

$M=\pi \cdot r\cdot s$

• Oberfläche von senkrechten Kegeln

$O=\pi \cdot r\cdot s+\pi \cdot r^{2}=\pi \cdot r\cdot (s+r)$

• Zusammenhang von Radius, Höhe und Seitenhöhe

$s^{2}=r^{2}+h^{2}$

Kugel und Kugelteile

• Volumen einer Kugel

$V={4 \over 3}\cdot \pi \cdot r^{3}$

• Oberfläche einer Kugel

$O=4\cdot \pi \cdot r^{2}$

• Umfang einer Kugel

$U=2\cdot \pi \cdot r=\pi \cdot d$

• Kugelkalotte (Kugelmütze, Kugelkappe)

h läuft entlang dem Durchmesser.

$A=2\cdot r\cdot \pi \cdot h$

• Kugelsegment

$O=2\cdot r\cdot \pi \cdot h+\rho ^{2}\pi$ mit :$\rho ^{2}=h\cdot (2r-h)$

$V={h^{2}\cdot \pi \over 3}\cdot (3r-h)$

• Kugelzone

$A=2\cdot r\cdot \pi \cdot h$

Ellipsoid und Drehkörper

Ellipsoid

• Volumen eines Ellipsoids mit den Halbachsen a,b,c:

$V={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot a\cdot b\cdot c\,$

• Volumen eines Rotationsellipsoids mit den Halbachsen a,b; Rotationsachse a:

$V={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot a\cdot b^{2}\,$

Pyramiden

Fläche Die Oberfläche O setzt sich zusammen aus dem Quadrat als Grundfläche und den vier Seitenflächen:

(O=a²+2ah').

Volumen Legt man um die Pyramide ein quadratisches Prisma mit dem Volumen a²h und verschiebt die Spitze der Pyramide in eine Quaderecke, so entsteht eine schiefe Pyramide mit gleichem Volumen. Dann gibt es noch zwei weitere Pyramiden gleichen Volumens. Die drei Pyramiden füllen den Quader aus. Das Volumen einer Pyramide ist gleich:

(1/3)*a²h.

Säulen

• Rundsäule (Zylinder)

- Das Volumen einer Rundsäule setzt sich zusammen aus der Multiplikation der Grundfläche g (Flächeninhalt eines Kreises: π*r²) mit der höhe h: g*h

• Dreieck-Säule (Prisma)

- Das Volumen einer Dreieck-Säule setzt sich zusammen aus der Multiplikation der Grundfläche g (Flächeninhalt eines Dreiecks: (g*h)/2) mit der höhe h: g*h

• Vierecksäule (Quader / Würfel)

- Das Volumen einer Vierecksäule setzt sich zusammen aus der Multiplikation der Grundfläche g (Flächeninhalt eines Vierecks: a*b) mit der höhe h: g*h

oder: Das Volumen ergibt sich aus der Multiplikation der Kanten (Höhe x Tiefe x Länge): a*b*c

Trigonometrie

Trigonometrische Funktionen

Definitionen

• Sinus

$\sin \alpha ={Gegenkathete \over Hypotenuse}={a \over c}$

• Kosinus

$\cos \alpha ={Ankathete \over Hypotenuse}={b \over c}$

• Tangens

$\tan \alpha ={Gegenkathete \over Ankathete}={a \over b}$

Eigenschaften von Sinus, Kosinus und Tangens

$\sin ^{2}(\alpha )+\cos ^{2}(\alpha )=1$

$\tan(\alpha )={\frac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}$

$\sin(\alpha )=\cos(90^{\circ }-\alpha )$

Sinussatz

${{\sin \alpha } \over a}={{\sin \beta } \over b}={{\sin \gamma } \over c}$

Kosinussatz

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot c\cdot \cos \beta$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \gamma$

Grad und Radiant

• Grad: 360° entsprechen einem Vollwinkel
• Neugrad: 400g (gon) entsprechen einem Vollwinkel
• Bogenmaß/Radiant: 2$\pi$ entsprechen einem Vollwinkel

Umrechnung Grad in Bogenmaß

$b={{2\cdot \pi \cdot \alpha } \over 360^{\circ }}$

Näherungen für sin x, cos x und tan x

Für kleine Winkel x gilt (Kleinwinkelnäherung):

$\sin(x)\approx x{}$

(der Näherungwert ist im Bogenmaß) denn für die Taylor-Reihe mit dem Entwicklungspunkt x = 0 gilt:

$\sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}{}$

analog gilt

$\cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\,$

$\tan(x)=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\dots =\sum _{n=1}^{\infty }2^{2n}(2^{2n}-1)\left|B_{n}\right|{\frac {x^{2n-1}}{(2n)!}}\,$

mit Wertebereich $\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$.

$B_{n}$ sind die Bernoulli-Zahlen:

$B_{1}={\frac {1}{6}},B_{2}={\frac {1}{30}},B_{3}={\frac {1}{42}},B_{4}={\frac {1}{30}},B_{5}={\frac {5}{66}},\dots$