Euler-Charakteristik

Die Euler-Charakteristik ist in der Topologie (einem Teilgebiet der Mathematik) eine Kennzahl für geschlossene Flächen. Flächen, die unter topologischen Gesichtspunkten als gleich angesehen werden haben die selbe Euler-Charakteristik. Sie ist deshalb eine ganzzahlige topologische Invariante. Als Bezeichnung verwendet man üblicherweise $\chi$.

Berechnen lässt sich die Euler-Charakteristik, indem man eine Fläche mit einem Dreiecksgitter überzieht. Unter Verwendung der Anzahl der Ecken $E$, der Anzahl der Kanten $K$ und der Anzahl der Dreiecke $F$ berechnet sich die Euler-Charakteristik $\chi$ nach der Formel

$\chi =E-K+F$

Benannt ist sie nach Leonhard Euler.

Eigenschaften

Wohldefiniertheit

Eine wichtige Beobachtung ist, dass die gegebene Definition unabhängig vom gewählten Dreiecksgitter ist. Dies lässt sich zeigen, indem man zu einer gemeinsamen Verfeinerungen gegebener Gitter übergeht, ohne dass sich die Euler-Charakteristik dabei ändert.

Da Homöomorphismen eine Triangulierung erhalten, ist die Euler-Charakteristik darüber hinaus sogar nur vom topologischen Typ abhängig. Umgekehrt folgt aus einer unterschiedlichen Euler-Charakteristik zweier Flächen, dass sie topologisch verschieden sein müssen. Daher nennt man sie eine topologische Invariante.

Zusammenhang zum Geschlecht der Fläche

Die Euler-Charakteristik $\chi$ und das Geschlecht einer orientierbaren Fläche $g$ hängen zusammen durch die Beziehung

$\chi =2-2g$.

Diese Formel ergibt sich folgendermaßen: Wir starten mit einer 2-Sphäre, also einer Fläche vom Geschlecht 0 und Euler-Charakteristik 2. Eine Fläche vom Geschlecht g erhält man daraus durch g-fache Bildung der verbundenen Summe mit einem Torus. Die verbundene Summe lässt sich so einrichten, dass die Verklebung jeweils entlang eines Dreiecks der Triangulierung erfolgt. Es ergibt sich pro Verklebung die folgende Bilanz:

• Flächen: $F'=F-2$ (die beiden Verklebeflächen)
• Kanten: $K'=K-3$ (je 3 Kanten werden verklebt, sie zählen dann nur noch einmal)
• Ecken: $E'=E-3$ (je 3 Ecken werden verklebt, sie zählen ebenfalls nur noch einmal)

insgesamt also $\chi '=\chi -3+3-2=\chi -2$. Durch jeden der g Tori verringert sich sie Euler-Charakteristik also um 2.

Zusammenhang mit dem Eulerschen Polyedersatz

Legt man ein gegebenes konvexes Polyeder in das Innere einer 2-Sphäre im $\mathbb {R} ^{3}$, so ergibt die Projektion der Ecken und Kanten des Polyeders vom Mittelpunkt der Sphäre ein Dreiecksgitter auf der Sphäre. Da diese Euler-Charakteristik 2 hat, ergibt sich die Formel E-K+F=2.

Beispiele

Die 2-Sphäre $S^{2}$ (Kugeloberfläche) hat die Euler-Charakteristik 2.

Die reelle projektive Ebene RP² hat die Euler-Charakteristik 1.

Der Torus hat die Euler-Charakteristik 0.

Siehe auch

• Satz von Gauß-Bonnet