Riemannscher Abbildungssatz

Der Riemannscher Abbildungssatz besagt, dass sich jedes einfach zusammenhängende Gebiet G, das eine echte Teilmenge der komplexen Zahlenebene C ist, biholomorph auf die Einheitskreisscheibe E abbilden läßt.

Zur Klärung der in diesem Satz verwendeten Begriffe:

Die Einheitskreisscheibe (der Einheitskreis) E ist definiert als E := {z Element C: |z| < 1}.

"echte Teilmenge" besagt, dass das Gebiet G ungleich C sein muss.

Zusammenhängende Bereiche von C werden als Gebiete bezeichnet.

Bereiche sind nicht leere offene Mengen in C.

Eine offene Menge in C kann man dadurch charakterisieren, dass jeder ihrer Punkte eine Kreisscheibe enthält, die ganz in dieser Menge liegt.

Eine Menge ist zusammenhängend, wenn je zwei ihrer Punkte durch einen Polygonzug miteinander verbunden werden können.

Eine Abbildung ist biholomorph, wenn sie holomorph ist, und wenn ihre Unkehrabbildung existiert und ebenfalls holomorph ist. Insbesondere sind solche Abbildungen topologische Abbildungen. Hieraus und unter Verwendung des Riemannschen Abbildungssatzes kann man schließen, dass alle einfach zusammenhängenden Gebiete, die echte Teilmengen von C sind, topologisch äquivalent sind.