Abzählende Kombinatorik

Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Bestimmung der

• Zahl möglicher Anordnungen oder Auswahlen von
• unterscheidbaren oder nicht unterscheidbaren Objekten
• mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge

beschäftigt.

Für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten auf der Basis des Wahrscheinlichkeitsbegriffs von Laplace bildet die Kombinatorik eine wichtige Grundlage.

• = Anordnungen (Permutationen)=

• • === Unterscheidbare Objekte mit Beachtung der Reihenfolge ===

Als einführendes Beispiel mag die Zahl der Anordnungen von sechs unterscheidbaren Objekten mit Beachtung der Reihenfolge dienen. Offensichtlich kann jedes der Objekte "auf den ersten Platz gelangen", es gibt also sechs Möglichkeiten, den ersten Platz zu besetzen. Wenn der erste Platz besetzt ist, bleiben noch fünf Kandidaten für den zweiten Platz, ist auch dieser besetzt, nur noch vier Kandidaten für den dritten Platz, und so fort. Für den vorletzen Platz bleiben schließlich nur noch zwei Objekte übrig, und der letzte Platz muss mit dem "übriggebliebenen" Objekt besetzt werden.

Es gibt also 6 * 5 * 4 * 3 * 2 oder 6 ! = 720 Möglichkeiten, sechs unterscheidbare Objekte anzuordnen. Das Ausrufezeichen steht für "Fakultät" und wird auch so gelesen, also "Sechs Fakultät". Allgemein:

Anzahl Permutationen von $n$ verschiedenen Elementen: $n!$

• • === Objekte mehrerer Klassen mit Beachtung der Reihenfolge ===

Für die Zahl der möglichen Anordnungen von Objekten aus mehreren Klassen, die untereinander jeweils innerhalb einer Klasse nicht unterscheidbar sind, ist es hilfreich, zunächst die mögliche Zahl der Anordnungen der Objekte zu betrachten und dann zu überlegen, wieviele dieser Anordnungen nicht unterscheidbar sind. Die Zahl der möglichen Anordnungen bei unterscheidbaren Objekte wird durch die Zahl der nicht unterscheidbaren Anordnungen geteilt.

Wenn die mögliche Zahl von Anordnungen von zwei Objekten einer ersten Klasse, drei Objekten einer zweiten Klasse und fünf Objekten einer dritten Klasse ermittelt werden soll, dann gibt es zunächst (2 + 3 + 5)! oder 3.628.800 mögliche Anordnungen. Weil aber Anordnungen nicht unterscheidbar sind, bei denen nur Objekte einer Klasse untereinander den Platz getauscht haben, weil also jeweils 2! * 3! * 5! oder 1.440 der möglichen Anordnungen gleich erscheinen, gibt es nur 3.628.800/1.440 oder 2.520 unterscheidbare Anodnungen dieser Elemente. Allgemein:

Anzahl Permutationen von $n$ Elementen, die in $k$ Gruppen von je $l_{1},l_{2},...,l_{k}$ gleichen Elementen $(\sum _{i=1}^{k}l_{i}=n)$ fallen: ${\frac {n!}{l_{1}!l_{2}!...l_{k}!}}$

• = Auswahlen mit Beachtung der Reihenfolge (Variationen)=
  • === Variation ohne Zurücklegen ===

${\frac {n!}{(n-k)!}}$

Ein wissenschaftlicher Taschenrechner erspart durch die Funktion "nPr" viel Tipparbeit: i.d.R Eingabe n-Wert, Taste nPr, Eingabe k-Wert, Taste "=".

Variation mit Zurücklegen

Wenn aus n Objekten k Objekte mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge ausgewählt werden sollen, dann kann jedes der n Objekte auf jedem der k Plätze der Auswahl erscheinen, es gibt demzufolge

$n^{k}$ mögliche Auswahlen.

Wenn also aus 3 Objekten 11 mal mit Zurücklegen gezogen wird, dann sind 3^11 = 177.147 verschiedene Auswahlen möglich. Als Beispiel aus der Genetik mag die Anzahl möglicher 3-er Tupel (Codons) bei 4 verschiedenen Nukleotidbasen dienen: 4^3 = 64; die tatsächliche Anzahl kodierter Aminosäuren ist geringer (22 (plus Start- und Stopcodons)), dar der genetische Code degeneriert ist.

• = Auswahlen ohne Beachtung der Reihenfolge (Kombinationen) =

Im Gegensatz zu den Variationen werden bei den Kombinationen die Anordnungen außer acht gelassen, d.h. "abc" ist gleichwertig mit "bca". Es muss also weniger Kombinationen als Variationen geben.

• • === Kombination ohne Zurücklegen ===

Auswahlprobleme ohne Zurücklegen können als Anordungsprobleme aufgefasst werden. Die Zahl der möglichen Auswahlen kann ermittelt werden, indem die Zahl der Anordnungen ermittelt wird, bei denen die ausgewählten Objekte auf ausgezeichneten Plätzen angeordnet sind.

Dieses Auswahlproblem kann auf die Ermittlung aller Anordnungen zurückgeführt werden, bei denen die ausgewählten Objekte auf den ersten Plätzen landen, wobei es weder bei den ausgewählten noch bei den nicht ausgewählten Objekten auf die Reihenfolge ankommt.

Wenn aus n Objekten k ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge ausgewählt werden sollen, so gibt es jeweils die Klasse der k ausgewählten Objekte und die Klasse der (n-k) nicht ausgewählten Objekte, in der es auf die Reihenfolge nicht ankommt.

Demzufolge gibt es ${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ mögliche derartige Auswahlen.

Dieser häufig benötigte Ausdruck wird als Binomialkoeffizient bezeichnet.

Wenn aus 49 Objekten nun 6 ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge ausgewählt werden sollen, wie dies z.B. bei der Ziehung der Lottozahlen der Fall ist, so gibt es 13.983.816 mögliche Auswahlen.

Ein wissenschaftlicher Taschenrechner erspart durch die Funktion "nCr" viel Tipparbeit: i.d.R Eingabe n-Wert, Taste nCr, Eingabe k-Wert, Taste "=".

• • === Kombination mit Zurücklegen ===

${(n+k-1) \choose k}={\frac {(n+k-1)!}{k!(n-1)!}}$

Siehe auch: Lateinisches Quadrat