Diskussion:Bogenmaß

Arc

"Das Bogenmaß ist eine in Mathematik und Physik übliche Einheit für Winkel" - und: "Das Bogenmaß hat keine Einheit wird aber meist als arc bezeichnet." - Was nun? Wenn ich was mathematisches lese, würde ich es am liebsten immer gleich verstehen;-) -- Robodoc 23:57, 8. Feb 2004 (CET)

ACHTUNG: Arc wurde zu einer Begriffklärungsseite - bitte entsprechend neu präzisieren! -- lg Robodoc 00:17, 9. Feb 2004 (CET)

Das Bogenmaß ist ein in der Mathematik und der Physik verwendetes Verfahren zur Winkelmessung. Es unterscheidet sich von dem in der Praxis üblichen Gradmaß dadurch, dass es sich um eine dimensionslose Maßzahl handelt. (Es ist kein Längenmaß!!! Es ist dimensionslos!!!) Das Bogenmaß ist das Verhältnis (Verhältnis bedeutet Quotient, da kürzen sich die Einheiten doch raus!!!)zwischen dem Kreisbogen eines Wikels und dem dazugehörigen Radius. Ich wollte den Artikel nicht einfach so ändern. --80.171.115.250 12:34, 20. Dez 2004 (CET)

Wikipedia ist echt toll! Eine ähnliche Diskussion wird unter Seemeileauch geführt. Ich schlage vor, dass die beiden elementaren Begriffe Gradmaß und Bogenmaß einmal sauber definiert werden.--80.171.115.250 12:38, 20. Dez 2004 (CET)

kann weg

der Abschnitt "Winkel im Bogenmaß" ist entbehrlich, weil alles auch im Abschnitte "Spezielle Winkel im Bogenmaß" steht.

Meiner Meinung nach ist in der Zeichnung auch ein Fehler: Warum soll denn b=r sein?!?

Das soll wohl $b=r\alpha$ heißen. Habe das Bild rausgenommen.--Gunther 13:03, 4. Dez 2005 (CET)

Ah nein, jetzt verstehe ich: Das soll eine Darstellung von $\alpha =1$ sein. Aber sinnvoll erscheint mir das nicht.--Gunther 13:04, 4. Dez 2005 (CET)

bild wieder eingefügt und mit verbesserter beschreibung versehen. halte ich für sehr sinnvoll, da es eine gefühl dafür vermittelt, was der wert des bogenmaßes ausdrückt, sprich: was bedeutet 1 oder 1,5 etc. ekuah 10:43, 2. Jan 2006 (CET)

Fläche

"Alternativ lässt sich das Bogenmaß auch als die doppelte Fläche des entsprechenden Kreissektors am Einheitskreis interpretieren. " Hilft das jemandem? Es verwirrt doch nur, denn Winkel sind keine Flächen, passt dimensionsmäßg gar nicht. Vergleiche auch Raumwinkel, was hoffentlich Stichwort ist.

Ja, das hilft, weil die Definition des Flächeninhaltes einfacher ist als die der Länge einer gekrümmten Kurve. Mathematische Flächeninhalte sind dimensionslos ("Einheitskreis" ist ja auch physikalisch unsinnig).--Gunther 15:19, 25. Aug 2005 (CEST)

Ebenfalls wichtig ist die Interpretation/Definition als Fläche bei den Areafunktionen (Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen), deshalb ist ja auch der Link auf Kreis- und Hyperbelfunktionen im Artikel. Ansonsten: den Einwand mit der Dimension verstehe ich nicht; das Bogenmaß ist dimensionslos, die Bogenlänge genauso dimensionsbehaftet wie die Fläche. Statt den Einheitskreis zu betrachten kann man natürlich auch einen beliebigen Kreis nehmen und die Fläche durch Radius zum Quadrat dividieren, dann wird man die Dimension ebenfalls los. --NeoUrfahraner 17:11, 25. Aug 2005 (CEST)

wenn ich richtig mit kombiniert habe, stellt dieses alternative Bogenmaß aber etwas ganz Anderes dar; etwas, das sich zum ebenen Winkel in SI-Einheiten quadratisch verhält. Sicher als Maß für Winkel geeignet. Aber nicht in jeder Hinsicht einfacher. --192.53.103.105 16:18, 2. Sep 2005 (CEST)

Wenn $x$ das Bogenmaß des Winkels ist, so ist die Fläche des dazugehörigen Kreissektors $A=r^{2}x/2$, also ist $x=2A/r^{2}$. Dieses "alternative Bogenmaß" ist also numerisch genau das Bogenmaß, die beiden Definitionen sind gleichwertig, lediglich die Interpretation ist unterschiedlich. Es wird ja auch nicht gesagt, dass diese Interpretation in jeder Hinsicht einfacher ist, für gewisse Anwendungen (z.B. für den Zusammenhang zwischen Kreis- und Hyperbelfunktionen) ist diese Interpretation aber zweckmäßiger. --NeoUrfahraner 17:27, 2. Sep 2005 (CEST)

Die Einheit "rad"

Der Abschnitt Diese Festlegung wurde von den deutschen Rechtsvorschriften über die gesetzlichen Einheiten im Messwesen übernommen. Danach darf der Radiant nicht zusammen mit SI-Vorsätzen benutzt werden, es gibt also beispielsweise weder eine gesetzliche Einheit Millirad, noch ein gesetzliches Einheitenzeichen crad u. s. w. ist meiner Ansicht nach falsch. Die deutschen Rechtsvorschriften verweisen heute nur noch auf die EU-Vorschriften Richtlinie 80/181/EWG. Da habe ich zumindest auf den ersten Blick nichts gefunden, das z.B. mrad verbieten würde. Ebensowenig in "The International System of Units" in der 7. Ausgabe. Ganz abgesehen davon, dass mrad durweg gebräuchlich ist. --Mdiekel 18:39, 5. Sep 2005 (CEST)

Überarbeitet

Artikel gekürzt, m.E. der Bedeutung von Bogenmaß angemessen.

Folgende Absätze herausgenommen:

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Für den Radiant gibt es keine SI-Vorsätze

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Begründung: siehe Anmerkung von Mdiekel oben.

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Winkelgeschwindigkeiten und Bogenmaß

Ohne Bogenmaß ...

Es soll die Geschwindigkeit an der Spitze des Minutenzeigers einer Turmuhr mit einer Länge von fünf Metern berechnet werden. Der Zeiger benötigt für eine Vollumdrehung genau eine Stunde, überstreicht also 360° pro Stunde. Der Kreisumfang beträgt

$U=2\,\pi \cdot 5\ \mathrm {m} =31{,}416\ \mathrm {m}$,

die Geschwindigkeit also

$v={\frac {U}{t}}={\frac {31{,}416\ \mathrm {m} }{3600\ \mathrm {s} }}=0{,}008727\ \mathrm {\frac {m}{s}}$

.. und mit Bogenmaß

Hier wird zunächst die Winkelgeschwindigkeit des Minutenzeigers bestimmt. Dies ist die Bogenlänge auf dem hypothetischen Einheitskreis pro Zeiteinheit. Das Bogenmaß für eine Vollumdrehung ist $2\,\pi$, die Zeit wieder eine Stunde oder 3600 Sekunden. Die Winkelgeschwindigkeit ist also

$\omega _{\mbox{Minutenzeiger}}={\frac {2\,\pi }{3600\ \mathrm {s} }}={\frac {0{,}00174532\ \mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$.

Um die Geschwindigkeit an der Spitze zu erhalten, muss man die Winkelgeschwindigkeit nur noch mit der Länge l/(Dem Radius) multiplizieren:

$v=\omega \cdot l={\frac {0{,}00174532}{\mathrm {s} }}\cdot 5\ \mathrm {m} =0{,}008727\ \mathrm {\frac {m}{s}}$.

Die Zahlenwerte wurden mit rad als Angaben im Bogenmaß gekennzeichnet. Bei der Geschwindigkeitsberechnung wird rad nicht berücksichtigt, die Einheit der Geschwindigkeit ist daher m/s, nicht rad mal m/s.

Der Vorteil der Berechnung mit dem Bogenmaß ergibt sich aus der Tatsache, dass man nur den Winkel pro Sekunde mit der Länge multiplizieren muss, um die Geschwindigkeit an der Spitze zu erhalten.

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Ich bezeifle, dass das Beispiel für das Verständnis von Bogenmaß hilft.

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Mathematische Winkelfunktionen

Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus können anschaulich dadurch definiert werden, dass man im Einheitskreis einen Zeiger im mathematisch positiven Drehsinn (also im Gegenuhrzeigersinn) rotieren lässt und die y-Koordinate der Zeigerspitze über der Bogenlänge - dem Bogenmaß - aufträgt.

Auf diese Weise lassen sich auch die Ableitungen dieser Funktionen bestimmen:

$\sin ^{\prime }x=\cos x$

$\cos ^{\prime }x=-\sin x$

(x muss hier im Bogenmaß angegeben werden.)

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Habe ich nicht verstanden.

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Spannt z. B. ein Winkel bei einem Radius von 2 Metern eine Kreisbogenlänge von 0,5 Metern auf, ist das Bogenmaß 0,5 m / 2 m, also 0,25 (Dimension 1, bzw. Länge / Länge). Der Umfang eines vollen Kreises ist das $2\pi$-fache seines Radius; somit beträgt das Bogenmaß des zum Vollkreis gehörenden Winkels $2\pi$; dieser Winkel heißt Vollwinkel.

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Beispiel sehr speziell.

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Umrechnung

• Von Grad nach Bogenmaß:

${\rm {Winkel}}_{\rm {Bogenmass}}={\frac {{\rm {Winkel}}_{\rm {Grad}}\cdot \pi }{180}}$

• Von Bogenmaß nach Grad:

${\rm {Winkel}}_{\rm {Grad}}={\frac {{\rm {Winkel}}_{\rm {Bogenmass}}\cdot 180}{\pi }}$

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Steht jetzt in der Einleitung. Muß Umkehrung auch angegeben werden?

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Fläche und Bogenmaß

Wenn $x$ das Bogenmaß des Winkels ist, so ist die Fläche des dazugehörigen Kreissektors $A=r^{2}x/2$, also ist $x=2A/r^{2}$. Alternativ lässt sich daher das Bogenmaß auch als das doppelte Verhältnis von Kreissektorfläche zu Quadrat des Radius oder auch als die doppelte Fläche des entsprechenden Kreissektors am Einheitskreis definieren. Beispielsweise hat ein Viertel des Einheitskreises, also ein Winkel von ${\frac {\pi }{2}}$ im Bogenmaß, eine Fläche von $A={\frac {\pi }{4}}$. Dieser Zugang ist unter anderem zweckmäßig bei der Interpretation der Area-Funktionen als Flächen, siehe dazu auch Kreis- und Hyperbelfunktionen.

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Dafür sind die Artikel Steradiant und Raumwinkel da (falls nicht, habe ich den Abschnitt nicht verstanden).

Überarbeitung

Ich habe die Überarbeitung rückgängig gemacht. Eine so radikale Kürzung sollte meines Erachtens vorher ausführlicher diskutiert werden. --NeoUrfahraner 07:38, 2. Jan 2006 (CET)

eine kürzung ist m.e. notwendig. ekuah 10:45, 2. Jan 2006 (CET)

Hallo NeoUrfahraner, du hast es dir mit dem Revert sehr einfach gemacht. Selbst auf meine ausführliche Diskussion einzugehen hast du dir erspart.
Gib einmal bei http://www.google.com die Worte "Bogenmaß Definition" ein. Was liest du? Was weißt du mehr? Wo steht die Umrechnung in Grad?
Wenigstens lass' die überarbeitete Einleitung stehen, um uns nicht allzusehr zu blamieren. In der Diskussion oben habe ich das meiste gesagt. Das Stichwort ist zu trivial, als dass ich mich weiter für die anderen Abschnitte einsetzen möchte. --Anton 13:14, 2. Jan 2006 (CET)

Zum Einleitungssatz: Unter einer Winkelangabe verstehe ich den Vorgang, dass ein Winkel angegeben wird, oder sein Ergebnis. Das Bogenmaß ist aber eher das Messverfahren oder die Funktion, wie aus einem Winkel eine Zahl wird. Mir fällt im Moment auch keine griffige Formulierung ein, aber das muss geändert werden.--Gunther 13:25, 2. Jan 2006 (CET)

Hallo Gunther, Bogenmaß ist eine Winkeleinheit, so wie Grad oder Neugrad, mehr nicht. Deshalb auch mein Erstaunen über die Länge des Artikels (manche Dinge sind dort im Augenblick schlicht falsch oder eine Zumutung). --Anton 13:33, 2. Jan 2006 (CET)

Bogenmaß ist keine Einheit, niemand spricht von "2 Bogenmaß". Der Winkel im Bogenmaß wird nicht durch Vergleichsgrößen wie "1°" definiert, sondern durch Rückführung auf den Längenbegriff; und genau diesen Unterschied im Messverfahren beschreibt das Wort.--Gunther 13:51, 2. Jan 2006 (CET)

Fast hätte ich deinen Kommentar überlesen. Siehe Artikel, man sagt 2 in Bogenmaß oder eben 2 rad -- nichts anderes als die Angabe 0,006 Teile eines Vollkreises. Gruß, Anton

@Anton: Klar habe ich es mir mit dem Revert einfach gemacht. Du hast es Dir ja auch sehr einfach gemacht, indem Du die beiden Abschnitte, die Du nicht verstanden hast, einfach hinausgeschmissen hast. Ich stimme zu, dass der Artikel überarbeitet gehört; klar sollte aber auch sein, dass das Bogenmaß mehr ist als irgendeine Winkeleinheit wie Grad oder Neugrad. --NeoUrfahraner 13:54, 2. Jan 2006 (CET)

Wenn du die Einleitung läßt, soll mich der Rest nicht mehr interessieren (btw: meine Beiträge zur Diskussion waren mehr als ein Knopfdruck). Anton

Ich habe den Einleitungssatz umformuliert. Ist das akzeptabel?--Gunther 14:35, 2. Jan 2006 (CET)

Was mir in der jetzigen Einleitung fehlt, ist, dass das Bogenmaß in der Mathematik das natürliche Maß für Winkel ist (wie immer man das genau formulieren will). --NeoUrfahraner 14:45, 2. Jan 2006 (CET)

Verbesserungsvorschläge?

Die Kritik von Anton, dass in diesem Artikel einiges verbessert gehört, ist ja nicht unberechtigt. Hat wer Vorschläge, wie man die beiden Abschnitte Mathematische Winkelfunktionen sowie Fläche und Bogenmaß verständlicher formulieren kann? Was soll mit dem Abschnitt Winkelgeschwindigkeiten und Bogenmaß geschehen? Das derzeitige Beispiel ist nicht wirklich illustrativ, soll man eine bessere physikalische Anwendung bringen (z.B. Zentripetalkraft)? --NeoUrfahraner 14:25, 3. Jan 2006 (CET)

(Hallo NeoUrfahraner, wie Recht du hast -- und wie wenig Lust ich, nochmals eine Überarbeitung revertieren zu lassen. Die Umrechnung steht in der Einleitung, sogar auf 8 Stellen genau... Man wird bescheiden. Anton)

Überarbeiten (März 2006)

Es ist nicht schlimm, wenn Ansätze zur Verbesserung durch Reverts rückgängig gemacht werden. Dafür erwarte ich aber von dem Reverter, selbst die Arbeit zu übernehmen.

In der Diskussion stehen viele Hinweise, wie der Artikel verbessert werden könnte. Doch seit Monaten ist nicht viel passiert. So schwer sollte es doch nicht sein für ein Stichwort, das lediglich eine Maßeinheit definiert. Anton 16:34, 24. Mär 2006 (CET)

...weil konzept fehlt. man sollte die formeln und umrechnungshinweise aus der einleitung wieder entfernen. erstmal muss das problem qualitativ geklärt sein, dannach kommen formeln und zahlen, zum schluss beispiele. die grafik muss deshalb ganz nach oben. wenn sie nicht ok ist (dh. inhaltlich und didaktisch falsch) kann ich sie gerne verbessern oder neu machen (bitte kritik). denkt mal bitte auch an schüler, die nach einer anschaulicheren erklärung suchen. ekuah 12:14, 25. Mär 2006 (CET)

Ich habe es jetzt einiges umstrukturiert und den Überarbeitungshinweis entfernt. --NeoUrfahraner 08:42, 22. Apr 2006 (CEST)

Grad oder deg

Wäre es nicht besser, den Index "Grad" in "deg" umzuändern? - man könnte sonst meinen es wird Neugrad gemeint... Vielleicht sollte man zu Anfang Rad, Deg und Gra/Grad gegenüberstellen.

Zu "deg" gibt es keinen Artikel, und "degree" ist nur das englische Wort für "Grad", das hilft also sowieso nichts. Die Verwechslungsgefahr ist jedenfalls gering, da im verlinkten Artikel Grad (Winkel) klar gesagt wird, dass "Altgrad" gemeint sind und Neugrad unter Gon zu finden sind, nicht unter Grad. --NeoUrfahraner 14:31, 10. Apr 2006 (CEST)

gut, aber ich bin jetzt von den Moden auf Taschenrechnern ausgegangen: DEG; RAD; GRA/GRAD [Gradmaß in Grad (Altgrad); Bogenmaß; Gradmaß in Gon]. Wenn man nur "Grad" als Index für den Altgrad verwendet irritiert das halt etwas... Vielleicht ist der Index "Altgrad" besser - ok, ist wirklich etwas kompliziert die ganze Sache.

Dein Taschenrechner ist dann aber anscheinend englisch beschriftet, der dazugehörige Artikel ist dann en:Grad (angle) und nicht de:Grad (Winkel). Oder beschwerst Du Dich auch darüber, dass in en:Gift was anderes steht als in de:Gift? --NeoUrfahraner 15:08, 12. Apr 2006 (CEST)

ok, ok - ich finde die ständige Benutzung von Anglismen ja auch nicht so gut. Allerdings habe ich bisher kaum einen Taschenrechner gesehen, welcher dafür eine deutsche Bezeichnung nutzt... (ok, teure TR, wie z.B. TI 89/Voyage kann man zwar auf Deutsch umstellen - sollte man aber nicht; dafür haben die gleich gar kein gon :) Ich habe mit meinem TR gearbeitet und war mir nicht mehr ganz so sicher was nun was ist (weil nun "GRAD" ja grad wie "Grad" klinkt :). Was macht man da? Richtig! Wikipedia! Bin so zu dem Artikel gekommen, hab mir die Formel angeschaut und natürlich gleich gedacht, dass "Grad" für Altgrad stehen müsste... Nachdem ich noch mehr gelesen hab, war es dann klar. Aber wegen meiner anfänglichen Fehlorientierung habe ich den Vorschlag gemacht... Wie wäre es mit "in Grad"??? (klingt ja auch gut: Winkel, in Grad) Es wäre halt eindeutiger und beugt damit Fehlern vor. [Ist aber nur ne kleine Sache, also lohnt es sich nicht deshalb zu streiten. Bin jetzt ruhig! Denk mal drüber nach. Viel Erfolg beim weiteren Bearbeiten!]

Nimm einen beliebigen Zeitungsartikel her, von mir aus Autobild: Wer den Smart fortwo im 90-Grad-Winkel zur Fahrbahn abstellt ... In der deutschen Sprache bezeichnet Grad eben Altgrad und nicht Neugrad. Wenn Du trotzdem eine Verwechslungsgefahr siehst, beschwer Dich bim Hersteller Deines Taschenrechners. Es ist nicht Aufgabe der Wikipedia, neue Sprachkonventionen einzuführen, weil die Hersteller ihre Taschenrechner nur unzureichend eindeutschen. Wenn Du allerdings einen Beleg (z.B. Zeitungsartikel) liefern kannst, dass sich die deutsche Sprache schon so verändert hat, dass "Grad" plötzlich "Neugrad" meint, oder dass "Deg" statt "Grad" gesagt wird, kann man über eine diesbezügliuche Anpassung des Artikels an diese veränderten Sprachgewohnheiten weiterreden. --NeoUrfahraner 08:36, 13. Apr 2006 (CEST)

Gradzeichen

Fehlt bei der Formel unter "Das Bogenmaß der Physik" (a tiefgestellt z = (2pi/360)²omega²*r) nicht das Gradzeichen ° nach den 360 Grad? 84.151.241.171 00:07, 1. Mai 2006 (CEST)

Ja, ergänzt. --NeoUrfahraner 07:01, 1. Mai 2006 (CEST)

Größe oder Einheit?

In der Definition steht: „Das Bogenmaß gibt die Größe eines ebenen Winkels als Verhältnis von Bogenlänge zu Radius an. Für physikalische und mathematische Zwecke ist das Bogenmaß die natürliche Einheit zur Winkelmessung; für den Alltagsgebrauch ist es aber unpraktisch, da die üblichen Winkel im Bogenmaß durch irrationale Zahlen beschrieben werden. Das Bogenmaß wird in der dimensionslosen SI-Einheit Radiant mit dem Einheitenzeichen rad, manchmal auch arc, gemessen.“ Außerdem gibt es einen Abschnitt „Das Bogenmaß als SI-Einheit“ und eine Tabelle „Physikalische Größe“ mit dem Eintrag „Name: Bogenmaß“. Das kann so nicht stimmen. Ich habe deshalb einen Überarbeitungsbaustein eingefügt. --194.97.124.136 01:11, 2. Okt 2006 (CEST)

Was ist das Problem? Das Messen physikalisch-technischer Größen bedeutet einen Vergleich mit willkürlich, aber zweckmäßig festgelegten Maßeinheiten (http://www.ieap.uni-kiel.de/surface/ag-berndt/lehre/aprakt/allg/einheiten.pdf) --NeoUrfahraner 08:21, 2. Okt 2006 (CEST)

Ja, schon klar, aber wie ist das Bogenmaß zwischen der physikalischen Größe "Winkel (Geometrie)" und der Maßeinheit "Radiant (Einheit)" einzuordnen? --194.97.124.121 16:19, 2. Okt 2006 (CEST)

Verstehe. Hier geht es um die Maßeinheit, Bogenmaß und Radiant (Einheit) sind daher redundant. Ich habe den Baustein auf Redundanz geändert. --NeoUrfahraner 09:45, 3. Okt 2006 (CEST)

Die Formatvorlage "Größe" war tatsächlich falsch; ich habe sie durch SI-Einheit ersetzt. --NeoUrfahraner 00:36, 4. Okt 2006 (CEST)

Das Bogenmaß ist doch eher die raumdimensionslose Version der Bogenlänge. Lt. DIN handelt es sich um eine eigenständige physikalische Dimension. Die Dimension Bogenmaß multipliziert mit der Dimension Länge ergibt die Dimension Bogenlänge. Zudem muss man aufpassen, damit man Bogenmaß und Bogenwinkel nicht verwechselt - beide haben stets den selben Betrag, wenn dieser für beide in Eins bzw. Radiant angegeben wird. Die Vorlage habe ich dementsprechend wieder zurückgeändert. — MovGP0 01:03, 4. Okt 2006 (CEST)

Korr: Man kann die Bogenlänge und den Bogenwinkel als Spezialfälle des Bogenmaßes ansehen. — MovGP0 01:12, 4. Okt 2006 (CEST)

Da es ja keine spezifisch deutsche Physik gibt, sondern die Physik international ist, wird da DIN ja hoffentlich nicht etwas Eigenes erfinden. www.leo.org übersetzt jedenfalls "Bogenmaß" mit "radian [tech.]", "circular measure [tech.]", "radian measure [tech.]" und "radian vestibular [med.]"; letzteres aus der Zahnmedizin, also in diesem Zusammenhang irrelevant. Zu "circular measure" habe ich http://www.thefreedictionary.com/circular+measure gefunden: "Noun 1. circular measure - measurement of angles in radians", also wieder Radiant. Was ist den nun dieses laut DIN "eigenständige" Bogenmaß in anderen Sprachen? --NeoUrfahraner 16:14, 4. Okt 2006 (CEST)

Ich habe mal unter Maß nachgesehen. Dort steht u.a. „das Ergebnis der Messung einer Größe“. Außerdem gibt es dort einen Link zum Wiktionary, wo zu lesen ist: „Bedeutung: Einheit, in der etwas gemessen wird“ und „Synonyme: [1] Maßeinheit“ sowie „[3] Plural: gemessene Größe“. Des weiteren gibt es dort auch einen Link zum Digitalen Wörterbuch der deutschen Sprache (DWDS), wo im hier interessierenden Zusammenhang sowohl die Bedeutung einer gemessenen Größe als auch die zum Messen verwendete Einheit genannt sind. Eine übliche Bedeutung von Maß ist also Maßeinheit; in diesem Artikel werden auch die Begriffe Maß, Längenmaß und Geschichte von Maßen und Gewichten verwendet. Maß kommt außerdem hauptsächlich im Plural im Sinne von Abmessungen vor, also als physikalische Größe Länge. Im Sinne einer Länge würde man aber kaum „Bogenmaß“ oder „Bogenmaße“ verwenden, sondern „Bogenlänge(n)“. Daher bleibt m.E. eigentlich nur die Bedeutung als Maßeinheit, also ein Äquivalent (aber kein Synonym) zum Radiant. Allerdings sind die Formulierungen unterschiedlich. Wenn ich das richtig sehe, wird der Begriff Bogenmaß eigentlich nur in Formulierungen wie „Der Winkel ist im Bogenmaß angegeben“ verwendet, aber nicht „Der Winkel beträgt x Bogenmaß“. Dagegen kann man wohl durchaus sagen: „Der Winkel ist in Radiant angegeben“ und „Der Winkel beträgt x Radiant“. Die oben genannte englische Definition klingt sinnvoll: „Bogenmaß: Messung eines Winkels in Radiant.“ Vielleicht könnte man dies als Definition auf die Seite Bogenmaß schreiben und alles weitere, was die Maßeinheit Radiant betrifft, nach dort verschieben. --194.97.126.95 20:51, 4. Okt 2006 (CEST)

So weit stimme ich zu; „Der Winkel beträgt x Bogenmaß“ wird nicht verwendet, die Wörter sind also nicht exakt synonym. Dass "Äquivalent" das Verhältnis passend beschreibt, bezweifle ich, aber das ist wohl nicht wesentlich. --NeoUrfahraner 14:04, 5. Okt 2006 (CEST)

Das Bogenmaß wird aber genauso in der Einheit Radiant bzw. der Einheit Eins angegeben. Ich wäre daher eher für eine Definition der Art:

„Das Bogenmaß beschreibt die Maße eines Segmentes eines Einheitskreises. Das Bogenmaß beschreibt dabei sowohl den Bogenwinkel als auch die Bogenlänge, da zwischen diesen im Einheitskreis ein direkter Zusammenhang besteht. Das Bogenmaß wird üblicherweise in Form des Bogenwinkels mit der Einheit Radiant angegeben, wodurch die Bogenlänge den selben Größenwert erhält. …“

hat jemand bessere Vorschläge? — MovGP0 00:41, 5. Okt 2006 (CEST)

Re.: an der aktuellen Definition

„Das Bogenmaß gibt die Größe eines ebenen Winkels als Verhältnis von Bogenlänge zu Radius an.“

kann ich nichts falsches erkennen. — MovGP0 09:44, 5. Okt 2006 (CEST)

Die vorletzte Definition finde ich ziemlich umständlich. Die vorvorletzte hat m.E. den Vorteil, daß sie sehr einfach ist und die weiteren Details auf den Radiant abschiebt. Die letztgenannte, aktuelle Version finde ich auch nicht schlecht. Man könnte vielleicht noch, wie im Abschnitt "Das Bogenmaß als SI-Einheit" den "(gedachten) Kreis" ergänzen. Das Problem an der bisherigen Beschreibung ist m.E., daß sich der zweite und der dritte Satz widersprechen: Im zweiten Satz heißt es, das Bogenmaß ist eine Einheit, dagegen steht im dritten Satz, das Bogenmaß wird in der Einheit Radiant gemessen. Mit einigen Formulierungsabwandlungen hätten wir also folgende Varianten:

1. (aktuell) „Das Bogenmaß gibt die Größe eines ebenen Winkels als Verhältnis von Bogenlänge zu Radius an.“
2. „Bogenmaß: Messung eines Winkels in Radiant.“
3. „Das Bogenmaß beschreibt die Maße eines Segmentes eines Einheitskreises. Das Bogenmaß beschreibt dabei sowohl den Bogenwinkel als auch die Bogenlänge, da zwischen diesen im Einheitskreis ein direkter Zusammenhang besteht. Das Bogenmaß wird üblicherweise in Form des Bogenwinkels mit der Einheit Radiant angegeben, wodurch die Bogenlänge den selben Größenwert erhält. …“
4. „Das Bogenmaß gibt die Größe eines ebenen Winkels als Verhältnis von Bogenlänge zu Radius eines (gedachten) Kreises an.“
5. „Der Begriff Bogenmaß bezeichnet die Angabe der Größe eines ebenen Winkels als Verhältnis von Bogenlänge zu Radius eines (gedachten) Kreises.“
6. „Unter dem Begriff Bogenmaß versteht man die Angabe der Größe eines ebenen Winkels als Verhältnis von Bogenlänge zu Radius eines (gedachten) Kreises.“

Ich habe übrigens den Artikel Bogenlänge geändert. --194.97.127.126 12:14, 5. Okt 2006 (CEST)

Die Änderung an Bogenlänge habe ich zurückgenommen. Bogenlänge bezeichnet allgemein die Länge eines Weges, nicht nur eines Kreisbogens.--Gunther 12:20, 5. Okt 2006 (CEST)

OK. Zur weiteren Diskussion der Bogenlänge verweise ich auf Diskussion:Bogenlänge. Dann müssen wir die Bogenlänge genauer erläutern. Weiterer Vorschlag:

• 7. „Unter dem Begriff Bogenmaß versteht man die Angabe der Größe eines ebenen Winkels als Verhältnis der Länge des Kreisbogens zum Radius eines Kreisausschnitts mit diesem Winkel als Mittelpunktswinkel.“

--194.97.127.126 14:17, 5. Okt 2006 (CEST)

Den Formulierungen 1,2,4,5 und 6 kann ich zustimmen, nicht aber Formulierung 3. Das dimensionslose Bogenmaß ist was anderes als die dimensionsbehaftete Bogenlänge eines Kreisbogens, für den "direkten Zusammenhang" braucht man ja noch den Kreisradius. Die eigentlichen Fragen, die zu klären sind, sind aber meines Erachtens, ob wir zwei getrennte Artikel Bogenmaß und Radiant brauchen (meiner Meinung nach nicht), wenn ja, wie sollen die beiden Themen voneinander abgegrenzt werden, und wenn nein, welches Lemma behalten wir und wie führen wir die beiden Artikel zusammen. --NeoUrfahraner 14:04, 5. Okt 2006 (CEST)

Ich halte einen eigenen (kurzen) Artikel für Bogenmaß für sinnvoll, da Bogenmaß kein Synonym von Radiant ist und einer Erläuterung bedarf (Bedeutung, Formulierung). Das hat diese Diskussion ja gezeigt. --194.97.127.126 15:11, 5. Okt 2006 (CEST)

Auf welche englische Seite würdest Du den Interwiki-Link setzen? --NeoUrfahraner 15:24, 5. Okt 2006 (CEST)

Auf en:Radian. --195.4.128.112 17:59, 5. Okt 2006 (CEST)

Wie gesagt bin ich für zwei Artikel. Für den Artikel "Bogenmaß" schlage ich die Formulierung Nr. 7 vor. Das Problem an der Sache ist ja, daß der Radiant eigentlich auch keine richtige Maßeinheit ist, sondern eine Hilfsmaßeinheit, die man einfach weglassen kann. Daher ist ein Verweis auf den Radiant wie in der 2. Formulierung vielleicht gar nicht so gut, da man den Radiant gar nicht braucht, um einen Winkel im Bogenmaß anzugeben. Eigentlich ist es ja eher so, daß die Verwendung der Einheit Radiant darauf hinweisen soll, daß ein Winkel im Bogenmaß angegeben wurde. Im Artikel "Radiant" könnte daher stehen: „Der Radiant (Einheitenzeichen: rad) ist eine Hilfsmaßeinheit, die darauf hinweist, daß die voranstehende Maßzahl als Angabe der Größe eines ebenen Winkels im Bogenmaß zu verstehen ist.“ --194.97.126.64 19:40, 5. Okt 2006 (CEST)

@NeoUrfahraner:

Der direkte Zusammenhang zwischen Bogenmaß, Bogenwinkel und Bogenlänge ist (im zweidimensionalen Euklidschen Raum bei Verwendung eines linearen Koordinatensystems) durchaus gegeben. Der Kreisradius im Einheitskreis ist übrigens immer genau eine (Längen-)Einheit. Zugegeben kann man das Bogenmaß gemäß Definition 1 auch bei Nicht-Einheitskreisen angeben, woduch die Definition 3 nicht alle Möglichkeiten beschreibt. Die Definition 2 ist für mich ebenfalls falsch, da man den Winkel trotz Angabe des Bogenmaßes in anderen Einheiten wie etwa Grad (Winkel) angeben kann, ohne dass sich das auf das Bogenmaß auswirkt. Defintion 4, 5 und 6 sind Variationen der Definition 1, aber auch nicht falsch. Eventuell kann man eine Erweiterung der Art Das Bogenmaß entspricht dem Bogenwinkel, wenn der Bogenwinkel in der Einheit Radiant angegeben wird. angeben. — MovGP0 00:30, 6. Okt 2006 (CEST)

Wie schaut der Zusammenhang aus? Der Bogenwinkel ist eine physikalische Größe, die im Bogenmaß gemessen werden kann, also das Verhältnis ist wie Länge zu Meile oder Gewicht zu kg. Die Bogenlänge ist Bogenmaß mal Radius, also von der physiklische Größe Länge. Klar ist der Radius am Einheitskreis 1, aber eine Bogenlänge gibt es nicht nur am Einheitskreis, sonder auch am Kreis mit Radius 2.

Zrr Definition 2:Wo ist das Problem? Du kannst eine Länge auch in Meilen angeben, trotzdem bleibt die Länge in Metern gleich lang. Verhältnis Bogenmaß zu Grad ist eben wie das Verhältnis Meter zu Meile, das eine ist eine SI-Einheit, das andere irgendeine andere Einheit.

Der Vorschlag von 194.97.126.64, dass sowohl Bogenmaß als auch Radiant auf en:Radian verweisen, zeigt doch, dass es keine mathematische oder physikalische Unerscheidung zwischen Bogenmaß und Radiant gibt; der Unterschied ist lediglich ein sprachlicher (die Wörter sind nicht vollkommen austauschbar), der anscheinend auch nur in der deutschen Sprache existiert. Die ganze Diskussion kommt nur daher, dass wir zwei Artikel/Sprechweisen haben für etwas, das letzlich inhatltlich das gleiche bezeichnet. Oder kannst Du irgendeine nicht-sprachliche, sondern mathematische/physikalische/naturwissenschaftliche Begründung angeben, warum man zwei Artikel braucht? Diese Begründung müsste dann z.B. auch im Englischen gelten. --NeoUrfahraner 00:46, 6. Okt 2006 (CEST)

Man könnte vielleicht sagen, daß das Bogenmaß ein in der Mathematik und Physik verwendetes Verfahren (Bogenmeßverfahren) zur Winkelmessung oder Winkelangabe ist, wie schon oben unter Arc vorgeschlagen wurde, während der Radiant eine Hilfsmaßeinheit (auch als Hinweiswort bezeichnet) ist, die eben darauf hinweist, daß gerade dieses Verfahren verwendet wurde, um die Größe eines Winkels zu quantifizieren. Im Englischen gibt es übrigens auch den Unterschied zwischen "radian measure" bzw. "circular measure" (siehe weiter oben) und "radian". Die Frage, ob es in der englischen WP dafür einen oder zwei Artikel gibt, muß für uns keine große Bedeutung haben. Daher der folgende Vorschlag:

• 8. „Unter dem Begriff Bogenmaß versteht man ein in der Mathematik und Physik verwendetes Verfahren zur Messung oder Angabe der Größe eines ebenen Winkels als Verhältnis der Länge des Kreisbogens eines Kreisausschnitts mit diesem Winkel als Mittelpunktswinkel zum Radius dieses Kreisausschnitts.“ Dazu ein Bildchen zur Veranschaulichung. --194.97.126.64 09:15, 6. Okt 2006 (CEST)

Das Bogenmaß ist kein Verfahren. Wie Du oben richtig festgestellt hast: "Eine übliche Bedeutung von Maß ist also Maßeinheit". Zurück zum Thema: Kannst Du irgendeine nicht-sprachliche, sondern mathematische/physikalische/naturwissenschaftliche Begründung angeben, warum man zwei Artikel braucht? Wie sollen die beiden Themen voneinander abgegrenzt werden? --NeoUrfahraner 12:06, 6. Okt 2006 (CEST)

Eine Messung ist immer mit einem Verfahren, verbunden, das man Meßverfahren nennt. Die Maßeinheit ist ja auch nur eine von mehreren üblichen Bedeutungen von Maß. Außerdem kann es sein, daß es sich bei dem Begriff Bogenmaß um eine unübliche Bedeutung von Maß handelt. Insofern halte ich die Verwendung des Begriffs "Verfahren" nicht für falsch. Man würde wohl allerdings nicht sagen: „Das Verfahren "Bogenmaß" besteht aus folgenden Schritten.“ Es gibt übrigens auch den Begriff Gradmaß, dessen WP-Eintrag zur Zeit nur aus einer Weiterleitung auf Grad besteht. Jedoch scheint es keinen entsprechenden Begriff für das Neugrad (Gon) zu geben. Die Begriffe Gradmaß und Bogenmaß werden unter dem Begriff Winkelmaß zusammengefaßt, der manchmal als „System, um die Größe eines Winkels zu messen“ definiert wird. Das ist wohl so etwas Ähnliches wie ein Verfahren. Trotzdem gefällt mir bisher die Definition Nr. 7 am besten. Die Darstellung von Bogenmaß und Radiant in getrennten Artikeln halte ich nicht für zwingend, aber übersichtlicher. Wenn man nur einen Artikel anlegt, müßte man eine Weiterleitung erstellen. Weiterleitungen haben m.E. den Nachteil, daß der Eindruck entstehen kann, daß der Begriff, den man gesucht hat, nicht ganz richtig oder veraltet ist und daß der andere Begriff ein besseres Synonym dafür ist, wie z.B. zur Zeit bei dem Begriff Bogenlänge. M.E. sind aber sowohl Bogenmaß als auch Radiant wichtige und gängige Stichwörter, die einen eigenen Artikel verdient haben. Die Aufteilung stelle ich mir ganz ähnlich vor wie jetzt, nämlich daß im Artikel Radiant die Einheitentabelle dargestellt wird und etwas zum SI gesagt wird. Außerdem sollte die Umrechnung von der Einheit Radiant in die Einheit Grad dargestellt werden. Auch der Abschnitt mit den Taschenrechner könnte nach Radiant, weil es sich sozusagen um eine Umschaltung des Taschenrechners zwischen den Maßeinheiten Grad, Radiant und Gon handelt. Im Artikel Bogenmaß könnte anhand einer Graphik erläutert werden, wie man auf den Winkel im Bogenmaß kommt. Die Tabelle zur physikalischen Größe würde ich entfernen. --194.97.126.64 15:36, 6. Okt 2006 (CEST)

Du hat meine Fragen nicht beantwortet. --NeoUrfahraner 15:54, 6. Okt 2006 (CEST)

Falls das nicht klargeworden ist: 1. Es gibt keine zwingenden Gründe irgendwelcher Art dafür, zwei getrennte Artikel anzulegen, aber es wäre m.E. übersichtlicher. 2. Die Abgrenzung stelle ich mir so vor, daß im Artikel Bogenmaß im wesentlichen der Begriff "Bogenmaß" erklärt wird und im Artikel Radiant im wesentlichen der Begriff "Radiant", da diese Begriffe sich doch deutlich voneinander unterscheiden und keine Synonyme sind. --194.97.126.64 22:08, 6. Okt 2006 (CEST)

So kommen wir der Sache näher. Ad 1: Da haben wir die gleiche Meinung ("Es gibt keine zwingenden Gründe"). Ad 2: Wie unterscheiden sich die beiden? --NeoUrfahraner 00:34, 7. Okt 2006 (CEST)

Zu 1: "Zwingend" ist sowieso relativ ... ;-) Zu 2: Den grundlegenden Unterschied zwischen den Artikeln sehe ich darin, daß zwei unterschiedliche Begriffe definiert werden, auch wenn sie inhaltlich verwandt sind. Für den Artikel Bogenmaß schlage ich die obenstehende Formulierung Nr. 7 vor, die nicht vom Radiant abhängig ist. Für den Artikel Radiant schlage ich die obenstehende (nicht numerierte) Formulierung vor, die ich hier mit dem Zeichen "R1" markiert wiederhole:

R1: „Der Radiant (Einheitenzeichen: rad) ist eine Hilfsmaßeinheit, die darauf hinweist, daß die voranstehende Maßzahl als Angabe der Größe eines ebenen Winkels im Bogenmaß zu verstehen ist.“

--194.97.126.64 13:08, 7. Okt 2006 (CEST)

Also ich fasse das nochmal zusammen: Der Unterschied zwischen den Begriffen besteht darin, dass sie sinnvollerweise in verschiedenen Artikeln behandelt werden sollten, weil es sich um unterschiedliche Begriffe handelt?--Gunther 13:11, 7. Okt 2006 (CEST)

Ja, und deshalb sollten sie in verschiedenen Artikeln behandelt werden. --194.97.126.64 14:09, 7. Okt 2006 (CEST)

Logisch! Hättest Du das nicht gleich sagen können?--Gunther 14:11, 7. Okt 2006 (CEST)

@Gunther: Da Du ja anscheinend zustimmst, dass ein gemeinsamer Artikel fuer Bogenmaß und Radiant sinnvoll wäre: welches Lemma würdest Du bevorzugen? Als Mathematiker hätte ich zunächst zu Bogenmaß tendiert, da der Begriff "Bogenmaß" aber anscheinend für mache ein wenig schwieriger fassbar ist als "Radiant", erscheint mir das Lemma "Radiant" geeigneter. Das bedeutet dann, Einleitung wie im Artikel Radiant und dann den Satz: "Die Messung eines Winkels in Radiant wird auch als Messung im 'Bogenmaß bezeichnet." --NeoUrfahraner 15:55, 7. Okt 2006 (CEST)

Wenn man das irgendwie formal wiedergeben will, dann geht es wohl um irgendeine Abbildung von der Menge der "Winkel" (genauer z.B. Wege im Raum der Strahlen in der Ebene) nach $\mathbb {R}$. Dafür gibt es bekanntlich verschiedene Möglichkeiten, und die üblichen unterscheiden sich durch Multiplikation mit einer geeigneten Zahl wie π/180. In diesem Rahmen ist das Bogenmaß die Abbildung, und Radiant ist ein Symbol, das angibt, dass die Zahl als Wert dieser Abbildung aufzufassen ist, oder auch ein Basisvektor in einem eindimensionalen reellen Vektorraum, den man statt $\mathbb {R}$ als Zielmenge der Abbildung verwendet. Jedenfalls kann man das eine nicht ohne das andere erklären, und der grundlegendere Begriff scheint mir der des Bogenmaßes zu sein, alleine schon deshalb, weil 1 rad kein sinnvoller Winkel ist: Man geht von den Zahlenwerten aus und findet sich mit der Einheit ab, statt einen Grundwinkel zu wählen, von dem aus man andere Winkel durch Vergleich misst.--Gunther 16:35, 7. Okt 2006 (CEST)

Also Bogenmaß als Lemma behalten, redirect von Radiant auf Bogenmaß? --NeoUrfahraner 16:57, 7. Okt 2006 (CEST)

Ja.--Gunther 17:05, 7. Okt 2006 (CEST)

Dazu habe ich folgende Anmerkungen:

1. Das klingt irgendwie ziemlich unausgegoren und kompliziert. Vielleicht könnte man zuerst eine allgemeinverständliche Erklärung bringen und dann eine, die eher für Mathematiker gedacht ist. Wir müssen ja schließlich auch immer an die Leser denken!
2. Die Erklärung des Radiant ohne Bezug auf das Bogenmaß ist nicht möglich, aber die Erklärung des Bogenmaßes ohne Bezug auf den Radiant durchaus, wie oben (19:40, 5. Okt 2006 (CEST)) schon erwähnt.

--194.97.126.64 22:47, 7. Okt 2006 (CEST)

Radiant ist eine Einheit; Bogenmaß eine Größe. Es handelt sich um zwei komplett verschiedene Dinge - die IP 194.97.126.64 har schon recht... Ich halte es für kontaproduktiv wenn man versucht beides im selben Artikel zu beschreiben. — MovGP0 23:06, 7. Okt 2006 (CEST)

Die Größe heißt Winkelweite. Du kannst eine Winkelweite auch in Grad messen, aber nicht "ein Bogenmaß".--Gunther 23:32, 7. Okt 2006 (CEST)

.. und im Zeitmaß (Winkel), das in Stunden angegeben wird: Bogenmaß ist die Messmethode, Radiant die Einheit -- W!B: 07:17, 14. Okt. 2006 (CEST)

War das jetzt ein Scherz? Verwendest Du ein anderes Meßgerät als beispielsweise einen Winkelmesser, wenn Du einen Winkel im Bogenmaß statt in Radiant angeben willst? --NeoUrfahraner 07:59, 15. Okt. 2006 (CEST)

ungezählt sind die witze, in denen sich ein mathematiker, ein physiker und ein ingenieur über etwas streiten, für alle drei aber ist die Messtechnik ein schlammpfuhl, in deren begriffen man sich verliert, und nur hofft, dass sie so funktioniert, wie man es gewohnt ist. auch ich bin da nicht ganz sattelfest.<br />

Wir messen die Winkelweite eines Winkels (als Messobjekt), indem wir sie (die Messgröße "Winkelweite") unmittelbar mit einem Maßstab vergleichen. Unser Messnormal (der Maßstab) ist abhängig davon, ob wir unserer Messung als Messmethode das "Bogenmaß", das "Gradmaß" oder ein anderes Maß zugrunde legen.

• Beim Bogenmaß ist das Messnormal der Einheitskreis, auf dessen Umfang eine Messskala dergestalt aufgetragen wird, dass 2π Maßeinheiten einem Vollkreis entsprechen. So erhalten wir die Maßzahl der Winkelweite und können diese als Größenwert in Radiant angeben. Das ist die Messmethode, eine direkte Messung. Als Messverfahren eignet sich, bei der Messung ein Messgerät wie den Winkelmesser zu verwenden, dessen Messprinzip das der ähnlichen Dreiecke ist. Da der Einheitkreis durch die Normierung auf 1 keine Maßeinheit der Länge trägt (sondern nur LE, das ist eine "Hilfsmaßeinheit"), ist die Dimension der Winkelweite in Radiant auch 1.
• Hätten wir aber im Gradmaß gemessen, hätten wir eine andere Maßzahl erhalten, die wir in einer anderen Maßeinheit anzugeben hätten, weder an der Winkelweite noch der sichtbaren Gestalt des Winkels hätte sich aber etwas geändert.
• Hätten wir als Messnormal die Himmelssphäre genommen, als Messskala die im Bezug zum Bild eines beliebigen Sterns bei der Rotation eines idealisierten Erdkörpers verstrichene Zeit verwendet, unser Messgerät, mit dem wir die Winkelweite messen würden, wäre dann eine Uhr und ein geeigneter ortsfester Referenzpunkt (Messpunkt), das Messprinzip wäre das des Zeitvergleichs zwischen Zeitpunkten des Durchgangs (die Visierlinie schneidet eine Referenzlinie durch den Messpunkt), und wie erhielten einen Grössenwert, der, wie die angelegte Skala, in Zeiteinheiten anzugeben ist und nennen diese Methode der Winkelmessung das Zeitmaß.
• Hätten wir den Winkel – statt am Einheitskreis – mit einem realen Kreis mit einem Radius von etwa 6,28 Metern verglichen, erhielten wir einen Messwert in einem Maß, dessen Größenwert in Metern anzugeben ist und das in seiner Maßzahl relativ exakt dem Zahlenwert der Bogenlänge in Metern entspräche. Solche Messungen sind in der Mathematik aber schon eine zeitlang nicht mehr üblich. Am Messverfahren und dem zugrundeliegenden Messprinzip hätte sich aber nichts geändert, wohl aber an der Messmethode und der erhaltenen Maßzahl des Messwerts.

Aus diesem Grunde halte ich das Bogenmaß für eine der Messmethoden, einem Winkel ein Maß zuzuschreiben und dieses in Radiant anzugeben. imho hat unsere IP 194.97.126.64 schon recht am anfang die passende kurz-definition gebracht: Bogenmaß: Die Messung eines Winkels in Radiant-- W!B: 11:45, 15. Okt. 2006 (CEST)

Problem: Wenn ich auf dem Einheitskreis Grad auftrage, ist die Messmethode dieselbe, nur der Maßstab ein anderer.--Gunther 11:49, 15. Okt. 2006 (CEST)

da warst Du schnell, stimmt, hatte ich mir auch grad überlegt, dann ist es nicht die Methode, sondern die Skala. hm, jaja .. -- W!B: 11:56, 15. Okt. 2006 (CEST)

oder doch nicht, das zugrundeliegende Normal ist Bestandteil der Messmethode, wenn Du das Normal wechselst, wechselst Du auch die Methode. -- W!B: 12:00, 15. Okt. 2006 (CEST)

Diese Differenzierung überzeugt mich nicht.--Gunther 12:07, 15. Okt. 2006 (CEST)

ACK, mich auch nicht wirklich.. noch eine Messmethode(?) fällt mir da aber ein, die im Prozentmaß, die zugrundeliegende Messkala lässt sich nicht am Kreis auftragen, das hiezu günstigste Messverfahren ist eine Längenmessung an der Senkrechten bei konstantgehaltener Waagrechten (oder umgekehrt), Messinstrument hierfür ist ein einfaches Massband oder Zollstock.. -- W!B: 12:12, 15. Okt. 2006 (CEST)

Die Messung eines Winkels in Prozent ist im Prinzip der Tangens des Winkels. Das ist tatsächlich was anderers, aber dieser Punkt ist auch nicht strittig. --NeoUrfahraner 14:27, 15. Okt. 2006 (CEST)

Im Prinzip nein, den Tangens kann man nicht messen, nur ausrechnen, drum ist er auch keine Physikalische Größe, messen kann man die länge der Katheten -- W!B: 19:35, 15. Okt. 2006 (CEST)

Naja, genausogut wie Du eine Bogenlänge am Einheitskreis messen kannst, geht das auch mit einem Tangentenabschnitt. Ist kein grundsätzlicher Unterschied.--Gunther 19:44, 15. Okt. 2006 (CEST)

Was das Bogenmaß nicht ist (Editmarke)

Ich glaube, wir können inzwischen schon mal festhalten, was das Bogenmaß nicht ist:

1. Das Bogenmaß ist keine physikalische Größe, sondern dient zur Quantifizierung einer solchen, nämlich des ebenen Winkels.
2. Das Bogenmaß ist keine Maßeinheit, denn es hat keinen festen Wert wie z.B. der Radiant oder der Grad.
3. Das Bogenmaß ist kein Meßverfahren bzw. keine Meßmethode zur Messung eines Winkels, da man einen Winkel auf verschiedene Arten messen kann und gleichzeitig in verschiedenen Einheiten angeben kann.

Ich finde den schon weiter oben erwähnten Begriff Maß ganz gut passend, insondere die im entsprechenden Artikel an erster Stelle genannte Definition "das Ergebnis der Messung einer Größe; Größenangabe". Daher möchte ich noch die folgende Definition vorschlagen:

• 9. „Das Bogenmaß ist ein Maß zur Angabe der Größe eines ebenen Winkels als Verhältnis der Länge des Kreisbogens eines Kreisausschnitts mit diesem Winkel als Mittelpunktswinkel zum Radius dieses Kreisausschnitts.“ Dazu ein Bildchen zur Veranschaulichung.

--IP194.97.126.64 23:33, 15. Okt. 2006 (CEST)

Das ist so eine Verlegenheitslösung: Wir wissen nicht, was das Bogenmaß ist, also erklären wir es mit einem anderen Wort, von dem wir auch nicht wiessen, was es genau bedeutet.--Gunther 23:54, 15. Okt. 2006 (CEST)

Die Erklärung eines unbekannten Wortes durch ein oder mehrere bekannte Wörter ist nicht nur in einer Enzyklopädie durchaus üblich und zweckmäßig. Die genannte Erklärung für das Wort "Maß" halte ich für gut verständlich und genau. Was soll daran problematisch sein? --IP194.97.126.64 12:44, 16. Okt. 2006 (CEST)

Den Punkten 1 und 3 kann ich zustimmen, aber was soll Punkt 2 heißen? Wenn ich z.B. einen rechten Winkel gegeben habe, so betägt seine Größe in Grad 90 und in Radiant sowie im Bogenmaß $\pi /2$. Inwiefern hat der Winkel im Bogenmaß einen weniger festen Wert als der Winkel in Radiant oder Grad? --NeoUrfahraner 00:36, 16. Okt. 2006 (CEST)

Es gibt nicht "1 Bogenmaß" wie "1 Grad". Allerdings gibt es "Bogenmaß 1".--Gunther 00:38, 16. Okt. 2006 (CEST)

Das ist aber eine rein sprachliches Phänomen und weder mathematisch noch physikalisch begründbar. Der Satz "Die Größe des Winkels beträgt $\pi /2$ Bogenmaß" ist genauso sinnvoll wie der Satz "Ich habe gestern zwei Maß Bier getrunken", ersterer ist lediglich in der deutschen Sprache nicht vorgesehen. --NeoUrfahraner 01:20, 16. Okt. 2006 (CEST)

Der erste Satz ist nicht etwa „nicht vorgesehen“, sondern wird so nicht formuliert, weil er in dieser Form nicht sinnvoll ist. Ein Winkel wird eben nicht als Vielfaches des feststehenden Vergleichswinkels „1 Bogenmaß“ angegeben, wie es bei Maßeinheiten üblich ist, z.B. beim Radiant oder Grad. --IP194.97.126.64 12:44, 16. Okt. 2006 (CEST)

Bevor ich darauf eingehe, solltest Du meine Frage von 00:36, 16. Okt. 2006 beantworten: Inwiefern hat der Winkel im Bogenmaß einen weniger festen Wert als der Winkel in Radiant oder Grad? --NeoUrfahraner 13:15, 16. Okt. 2006 (CEST)

Die Aussage war, daß das Bogenmaß keine Maßeinheit ist, weil es im Gegensatz zu den Maßeinheiten Radiant oder Grad keinen festen Wert als ein ganz bestimmter Winkel hat. Ein Winkel, der im Bogenmaß angegeben ist, kann natürlich einen beliebigen Wert haben, ebenso ein Winkel, der in Radiant oder in Grad angegeben ist, aber der Radiant und der Grad selbst haben jeweils einen feststehenden Wert. Es gibt aber keinen feststehenden Vergleichswinkel, der sich „1 Bogenmaß“ nennt und der mit einer Maßzahl multipliziert wird, um eine Größe anzugeben. Es ist statt dessen so, daß das Bogenmaß selbst die Maßzahl zur Angabe der Größe eines (beliebig großen) ebenen Winkels ist, die in einem wohldefinierten Sinn zu verstehen ist. Daraus folgt der Definitionsvorschlag Nr. 10:

• 10. „Das Bogenmaß ist eine Maßzahl zur Angabe der Größe eines ebenen Winkels, die als Verhältnis der Länge des Kreisbogens eines Kreisausschnitts mit diesem Winkel als Mittelpunktswinkel zum Radius dieses Kreisausschnitts definiert ist.“ --IP194.97.126.64 14:34, 16. Okt. 2006 (CEST)

Und welcher mathematische oder physikalische Grund würde gegen die Definition "1 Bogenmaß = 1 Radiant" sprechen (abgesehen davon, dass diese Definition nicht üblich ist), genauso wie (heute) "1 Maß Bier = 1 Liter Bier" gilt? --NeoUrfahraner 15:35, 16. Okt. 2006 (CEST)

Ich bin nicht sicher, ob ich verstehe, was Du meinst. Meinst Du, daß Du das Wort "Bogenmaß" umdefinieren und ihm dieselbe Bedeutung zuweisen willst, die das Wort "Radiant" hat, also ein Synonym definieren willst? --IP194.97.126.64 16:58, 16. Okt. 2006 (CEST)

Die Frage ist nur hypothetisch. Angenommen, der Verein Deutsche Sprache möchte das Wort "Radiant" als Fremdwort verbannen und schlägt daher vor, stattdessen "1 Bogenmaß = 1 Radiant" zu verwenden. Welche mathematischen oder physikalischen Argumente würdest Du gegen diese Definition vorbringen? --NeoUrfahraner 01:17, 17. Okt. 2006 (CEST)

Ich würde sagen, daß man Begriffe unterschiedlicher Art nicht einfach gleichsetzen kann, wie z.B. "1 Gradmaß = 1 Grad" oder das Standardbeispiel "1 Apfel = 1 Birne". --IP194.97.126.64 11:19, 17. Okt. 2006 (CEST)

Interessanterweise leitet Gradmaß aber auf Grad (Winkel) weiter, analog dann also Bogenmaß auf Radiant (Einheit). --NeoUrfahraner 13:14, 17. Okt. 2006 (CEST)

Die Existenz der automatischen Weiterleitung von "Gradmaß" auf "Grad (Winkel)" habe ich ja schon weiter oben (15:36, 6. Okt 2006 (CEST)) erwähnt. Wie Du siehst, ist durch eine automatische Weiterleitung ein Begriff nicht erklärt. Es kann der falsche Eindruck entstehen, daß es sich um Synonyme handelt, da auch im Artikel "Grad (Winkel)" der Begriff "Gradmaß" nicht erklärt wird. Es handelt sich daher um ein Musterbeispiel für eine schlechte automatische Weiterleitung. --IP194.97.126.64 15:38, 17. Okt. 2006 (CEST)

mal ein anfang.. -- W!B: 17:20, 17. Okt. 2006 (CEST)

nichts für ungut, NeoUrfahraner, aber mir scheint Du liest die hier in der Diskussion verlinkten Artikel nicht, nein, es ist kein „rein sprachliches Phänomen“, sondern ein mestechnisch-physikalisches:

„Die Größenart ist ein Oberbegriff für gleichartige physikalische Größen. Alle Größen, von denen physikalisch sinnvoll Summen oder Differenzen gebildet werden können, sind gleichartig.“ (Physikalische Größe#Grundlagen – Wikipedia

Extra für Dich ;-) steht weiter unten (Physikalische Größe#Rechenregeln) sogar ausführlich:

„Addition und Subtraktion ist nur zwischen Größen der gleichen Größenart möglich.“

Die von Dir als „rein sprachlich“ titulierte Gleichung dazu lautet:

${\pi /2}\;\mathrm {rad} +{\pi /2}=\pi \equiv \pi \;\mathrm {rad}$

Äpfel und Birnen.. folglich, laut textbox „Unsinnige Rechenoperationen“:

$\sin({{\pi /2}\;\mathrm {rad} })=1$

genau aus dem grund muss man schülern erst mühsam beibringen, dass, wenn sie auf die sinustaste am taschenrechner tippseln, darüber nachdenken müssen, in welcher (physikalischen) Einheit die aufleuchtende "Maßzahl" angegeben ist, aus einem ergebnis 3,1416 („ah das ist pi“) lässt sich noch nicht schliessen, dass das nicht zufällig grad sind.., ein widerlicher kleiner schnippsel angewandte physik mitten in der reinsten mathematik, da stolpert sogar der beste mathematiker hin und wieder drüber.. ich bins zwar gewohnt, ununterbrochen zwischer rad, grad dezimal, °ms, zeitmaß dezimal und hms umzurechen, daher mein problembewusstsein, trotzdem fuxts manchmal

korr mein geschreibsel, die darstellung $\sin({{\pi /2}\;\mathrm {rad} })=1$ ist SI-konform.. -- W!B: 10:46, 17. Okt. 2006 (CEST)

Gunther hat natürlich ganz richtig erkannt, das die messmethoden-hypothese hinkt, ich hab mich nochmal kundig gemacht:
Die Messmethode im Sinne der Messtechnik lautet: Nimm den Winkel und lege ihn derart auf den Messkreis, dass sein Scheitel im Kreismittelpunt liegt, und der Nullpunkt der Messskala auf dem einen Schenkel zu liegen kommt. Am Schnittpunkt des Kreises mit dem zweiten Schenkel ist dann die Maßzahl abzulesen, die Winkelweite ist dann in Radiant (oder eben Grad) anzugeben

• daher gibt es, wie Gunther richtig bemerkt hat "Bogenmaß 1" (1 ist hier die Maßzahl), genauso wie es "Gradmaß 90" oder "Prozentmaß 100", "Zeitmaß 12" gibt
• gibt es "1 Radiant" (1 ist hier Zahlenwert der Größe), liesse sich aber auch als "156 %" oder "3 Stunden 50 Minuten" angeben (nicht aber als „3,82 Zeitmaß(e)“)

weil die messmethode dieselbe ist (vergleich mit dem kreis), ob ich in radiant, grad, gon, strich messe, ist das bogenmaß die Messskala (genau der fehlt leider), also „die Messlatte, die ich an den Winkel anlege“: Mit verschiedenen Messlatten erhält man verschiedene maßzahlen, aber dasselbe Messergebnis (nur wird es in verschiedenen Maßeinheiten angegeben und daher sind die Zahlenwerte umzurechen), wenn ich einen metrischen und einen zölligen Zollstock genommen hätte, wärs dasselbe, auch ein Thermometer in °C oder Reaumur - die angewendete Messmethode bliebe jeweils dieselbe (ich würde nur die skala im Thermometer austauschen, den bedruckten streifen papier, anders wärs, von Quecksilber auf Alkohol umzustellen, oder gar die Temperatur über die Strahlung zu messen)

• Darum steht auch das Prozentmaß etwas "abseit", weil es eine andere messmethode verwendet, nämlich die Längenmessung an einer Strecke am Schenkel, und daher eine Indirekte Messmethode ist (ich muss erst den Quotienten der Maßzahlen berechenen, um einen Größenwert zu erhalten), und auch das astrometrische Zeitmaß ist dem mathematiker recht befremdlich..
• daher ist strenggenommen das Messprinzip von Bogenmaß und Gradmaß der S:W:S-Satz (schenkel sind aus dem einheitskreis abzuleiten), vom Prozentmaß aber der S:s:W-Satz (katheten), vom Zeitmaß hingegen der Drehimpulssatz (mist!)

also: Der Einheitkreis ist das Messnormal, das Bogenmaß die Messskala, und beide zusammen der Maßstab, der der Messung der Winkelweite dient. Bogenmaß und Radiant zusammen sind das Maß, das der Angabe einer (physikalischen) Größe eines Winkels dient, wie auch seiner Bemaßung. (besser?)-- W!B: 07:50, 16. Okt. 2006 (CEST)

PS das mit der Winkelweite war mir auch gar nicht so explizit bewusst, jetzt versteh ich auch warum man fachlich korrekt "am" Winkel misst und nicht "den" Winkel.. -- W!B: 08:49, 16. Okt. 2006 (CEST)

Messskala? Meinst Du damit einen Winkelmesser, bei dem die Messskala nicht nur in Grad, sondern auch in Bogenmaß angegeben ist, z.B. http://www.stauff.de/matgesch/dateien/mathemodelle-Dateien/image004.jpg ? Das Bogenmaß ist jedenfalls keine Messskala, aber eine Messskala kann im Bogenmaß sein. --NeoUrfahraner 13:26, 16. Okt. 2006 (CEST)

genau das meine ich, das was du "winkelmesser" nennst, ist aber nicht das Messgerät (das reale, ein hübsches ding, so gehts auch), sondern der Einheitkreis selbst (s.o.). der Einheitkreis ist ja ein „ideeles“ (virtuelles) Objekt: er trägt keine physikalische Größe, lässt sich also nicht messen (daher schreibt man ihm ja auch den radius "1 LE" zu, erst wenn man ihn tatsächlich zu papier bringen will, muss man dem "LE" einen geeigneten wert zuweisen, etwa 10 cm, dann ist es aber nicht mehr der einheitskreis). und er dient zur definition des Radiants und mit ihm misst man winkelweiten im Bogenmaß.

und das Bogenmaß ist (imho) die Skala, weil es den umfang des einheitskreises skaliert. den zugehörigen Artikel hab ich jetzt gefunden: Skalenniveau. Das Bogenmaß erfüllt sogar die Kriterien des höchsten Messniveaus, nämlich die der Verhältnisskala, ist also eine metrische Skala. Dort wirds übrigens wieder mathematischer.. -- W!B: 20:37, 16. Okt. 2006 (CEST)

Und wie unterscheidet sich das Bogenmaß in diesem Punkt vom Radiant? --NeoUrfahraner 00:26, 17. Okt. 2006 (CEST)

ach NeoUrfahraner, tust Du trollen oder willst Du uns mit Deinen fragen nur zum präzisen nachdenken zwingen ;-)?

„Eine Maßeinheit (auch: Größeneinheit) ist eine Größe mit einem feststehenden, wohldefinierten Wert, die als Vergleichsgröße zur quantitativen Bestimmung des Wertes anderer Größen der gleichen Art verwendet wird.“ (Maßeinheit – Wikipedia, die freie Enzyklopädie)

Der Radiant ist - per def - exakt der 2π-te Teil des Vollwinkels, nicht mehr und nicht weniger.

Du hast aber ganz recht, der Artikel war dahingehend nicht sauber ausgearbeitet. gruß -- W!B: 06:37, 17. Okt. 2006 (CEST)

PS: und jetzt kenn ich mich auch nicht mehr aus: die Gleichung

$\mathrm {1\,rad=1\,{\frac {m}{m}}(=1\cdot 1)=1}$

ist formal aber richtig.. ??? -- W!B: 08:24, 17. Okt. 2006 (CEST) PPS ..ah, weil sie eine Hilfsmaßeinheit ist, wie alle Winkelmaße, keine „echte“.

Um meine Frage klarer zu machen: Du hast geschrieben "Das Bogenmaß erfüllt sogar die Kriterien des höchsten Messniveaus, nämlich die der Verhältnisskala". Was ist mit dem Radiant? Erfüllt der Radiant die Kriterien des höchsten Messniveaus, nämlich die der Verhältnisskala? --NeoUrfahraner 13:22, 17. Okt. 2006 (CEST)

nein -- W!B: 14:47, 17. Okt. 2006 (CEST)

Warum nicht? --NeoUrfahraner 17:29, 17. Okt. 2006 (CEST)

wie sollte es?? -- W!B: 20:26, 17. Okt. 2006 (CEST)

schön langsam tendiere ich auch zu der version 9. „Das Bogenmaß ist ein Maß…“, das 10. „Maßzahl“ behagt mir nicht sonderlich. denn „Maß“ ist Größenangabe an sich sowie Bemaßung (vergl. BKL Maß, Maß für Maßeinheit ist veraltet), ähnlich ist etwa der Sprachgebrauch bei zölliges vs metrisches Maß: ersteres wird in Zoll oder Inch, zweiteres in Metern und seinen Teileinheiten angegeben und dient der Bemaßung von Bauteilen. irgendwie hab ich das gefühl, dass das Bogenmaß zum Winkel selbst (dem Messobjekt, und das Radiant zur Winkelweite (der Messgröße) gehört:

• 11. „Das Bogenmaß eines Winkels ist die Angabe seiner Winkelweite in Radiant. Es ist ein Maß für die Länge des Bogens, der am Einheitskreis zwischen den Schenkeln des Winkels liegt.“

- weiter unten kann dann stehen:

• „Es sei ein Kreisausschnitt mit einem Winkel α als Mittelpunktswinkel, dem Radius r und einer Länge des Kreisbogens s. Das Verhältnis von s zu r hat dieselbe Maßzahl wie das Bogenmaß von α. Es gilt also: $\mathrm {\frac {s}{r}} =\alpha$.“ (auch meßtechnisch-formal, weil das Radiant als kohärente SI-Einheit m/m = 1 ist, sich also einem quotienten zweier längen gleichsetzen lässt, für das Grad gilt das so nicht, es ist nicht kohärent)
• „Daher findet sich in älterer Literatur auch die Bezeichnung die Bogenlänge am Einheitskreis ist das Bogenmaß des Zentriwinkels ${\hat {\alpha }}=\mathrm {arc\,\alpha } \ (\mathrm {oder\ arcus\,\alpha } )$.“ (den bogen hab ich nicht gefunden, daher hut)

mit Dubbels hilfe -- W!B: 22:27, 17. Okt. 2006 (CEST)

Zwischenumfrage zur Begriffsbildung

Jetzt eine kleine Nachfrage zur Verständigung: Das Bogenmaß verhält sich zum Radiant wie das Gradmaß zu Grad (Winkel). Ja oder nein? --NeoUrfahraner 00:41, 18. Okt. 2006 (CEST)

 Pro -- W!B: 14:59, 18. Okt. 2006 (CEST)

 Pro --IP194.97.126.64 19:25, 18. Okt. 2006 (CEST)

 Pro --NeoUrfahraner 00:37, 19. Okt. 2006 (CEST)

Nächste Frage: wie heißt das analoge Wort für Meter? (Metermaß leitet auf Meterstab um). --NeoUrfahraner 00:37, 19. Okt. 2006 (CEST)

s.o. Metermaß oder metrisches Maß, je nachdem welchen aspekt man betont, (Metermaß auf >Meterstab ist eher umgangsprachlich, aber sicher bei weitem am verbreitetsten, ich würds auf auf den artikel setzten, der den unterschied zwischen metrisch und zöllig erklärt, und ein "Dieser Artikel" für den Zollstock einbauen (fachliche korrektheit vor üblichem gebrauch) -- W!B: 01:16, 19. Okt. 2006 (CEST)