Kommutator (Mathematik)

In der Mathematik bezeichnet der Kommutator (lat. commutare=vertauschen) zweier Elemente g und h einer Gruppe G das Element g^-1 h^-1 gh, was häufig auch als [g,h] geschrieben wird. Er ist gleich 1 genau dann wenn g und h vertauschen, d.h. genau dann wenn gh = hg. Die von allen Kommutatoren erzeugte Untergruppe wird Kommutator-Untergruppe von G genannt. Kommutatoren werden benutzt, um nilpotente Gruppen zu definieren.

Kommutatoren werden auch für Ringe und assoziative Algebren definiert. Hier wird der Kommutator [a,b] zweier Elemente a und b auch Lie-Klammer genannt und ist definiert als [a,b] = ab - ba. Er ist gleich 0 genau dann wenn a und b vertauschen. Mit der Lie-Klammer kann jede assoziative Algebra zu einer Lie-Algebra gemacht werden. Der auf einem Hilbertraum definierte Kommutator zweier Operatoren ist in der Quantenmechanik von Bedeutung, denn er bestimmt, mit welcher Mindest-Unschärfe die den Operatoren entsprechenden Observablen bei gleichzeitiger Messung behaftet sind (Unschärferelation).