Resolvente

In der Mathematik ist die Resolvente die Inverse eines spektral verschobenen linearen Operators oder einer Matrix. Ihr Definitionsbereich ist die Resolventenmenge.

Für einen Operator linearen Operator $A$ (oder auch eine Matrix $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$) definiert man die Resolventenmenge als

$\rho (A):=\{z\in \mathbb {C} :zI-A\mathrm {\,ist\,invertierbar\,und\,besitzt\,eine\,beschraenkte\,Inverse} \}$.

Die Resolventenmenge ist also das Komplement des Spektrums und daher offen. Auf der Resolventenmenge definiert man die Resolvente durch

$R(A,z)=(zI-A)^{-1}.$

Viele Autoren verwenden die Definition der Resolvente als $R(A,z)=(A-zI)^{-1}$. Die Resolvente ist eine analytische Funktion und kann auf $\{z\in \mathbb {C} :|z|>r\}$, wobei $r$ der Spektralradius ist, durch die Neumannsche Reihe dargestellt werden:

$R(A,z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{z^{n+1}}}$.

Die Resolvente wird verwendet, um Eigenwertentwicklungen von gestörten Operatoren zu beschreiben, z.B. die Entwicklungen von Rellich-Kato und Rayleigh-Schrödinger.

Resolventenidentitäten

Hilfreich bei Berechnungen sind die erste und zweite Resolventenidentität. Aus $(z_{1}-z_{2})I=z_{1}I-A-(z_{2}I-A)$ folgt mittels Inversion die erste Resolventenidentität

$R(A,z_{2})-R(A,z_{1})=(z_{1}-z_{2})R(A,z_{1})R(A,z_{2})=(z_{1}-z_{2})R(A,z_{2})R(A,z_{1}),$

und aus $A_{1}-A_{2}=zI-A_{2}-(z_{I}-A_{1})$ folgt mittels Inversion die zweite Resolventenidentität

$R(A_{1},z)-R(A_{2},z)=R(A_{1},z)(A_{1}-A_{2})R(A_{2},z)=R(A_{1},z)(A_{1}-A_{2})R(A_{2},z).$