Erweiterte Zufallsvariable

Eine erweiterte Zufallsvariable ist eine Zufallsvariable mit Werten in den erweiterten reellen Zahlen. Eine erweitere Zufallsvariable heißt auch numerische Zufallsvariable im Unterschied zu einer reellen Zufallsvariablen, die nur Werte in den reellen Zahlen annimmt.

Definition und Eigenschaften

Für die erweiterten reellen Zahlen ${\bar {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{+\infty ,-\infty \}$ wird $-\infty <x<\infty$ für alle $x\in \mathbb {R}$ vereinbart. ${\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }})$ bezeichne die borelsche σ-Algebra auf den erweiterten reellen Zahlen. $(\Omega ,\mathbb {A} ,P)$ sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.

Definition

Eine Abbildung $X:\Omega \to {\bar {\mathbb {R} }}$, die $\mathbb {A} {\text{-}}{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }})$-messbar ist, heißt erweiterte Zufallsvariable (engl. extended random variable), erweiterte zufällige Größe oder – analog zur Terminologie der numerischen Funktion – numerische Zufallsvariable

Eigenschaften

• Die $\mathbb {A} {\text{-}}{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }})$-Messbarkeit von $X$ bedeutet, dass $X^{-1}(B)\in \mathbb {A}$ für alle $B\in {\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }})$ gilt. Dabei bezeichnet $X^{-1}(B)$ das Urbild einer Menge $B\subseteq {\bar {\mathbb {R} }}$. Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P(X\in B)=P(X^{-1}(B))$ für alle $B\in {\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }})$ definiert.
• Insbesondere sind im Unterschied zu einer reellen Zufallsvariablen auch die beiden Wahrscheinlichkeiten $P(X=-\infty )=P(X^{-1}(\{-\infty \}))$ und $P(X=\infty )=P(X^{-1}(\{\infty \}))$ definiert und können positiv sein.
• Durch

$P_{X}(B):=P(X\in B)$ für alle $B\in {\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }})$

ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der erweiterten Zufallsvariablen $X$ auf dem Messraum $({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))$ definiert, so dass $({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}),P_{X})$ ein Wahrscheinlichkeitsraum ist.

• Eine erweiterte Zufallsvariable $X$ mit der Bildmenge $X(\Omega )\subseteq \mathbb {R}$ ist eine reelle Zufallsvariable. Insofern sind reelle Zufallsvariablen spezielle erweiterte Zufallsvariablen.
• Eine erweiterte Zufallsvariable $X$ mit der speziellen Eigenschaft $P(X=-\infty )=P(X=+\infty )=0$ unterscheidet sich wahrscheinlichkeitstheoretisch nicht von der durch

$X'(\omega ):={\begin{cases}X(\omega )&{\text{für }}\omega \in X^{-1}(\mathbb {R} )\\17&{\text{für }}\omega \in X^{-1}(\{-\infty ,\infty \})\end{cases}}$

definierten reellen Zufallsvariable $X'$. Die Zahl 17 kann durch jede beliebige reelle Zahl ersetzt werden, da nach Konstruktion $P(X'=17)=0$ gilt. Es gilt

$P(X\in B)=P(X'\in B)\quad {\text{für alle }}B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),$

wobei ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ die borelsche σ-Algebra auf $\mathbb {R}$ bezeichnet.

• Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer erweiterten Zufallsvariablen kann durch deren Subverteilungsfunktion $H_{X}(x):=P(X\leq x)$ für $x\in \mathbb {R}$ charakterisiert werden. Dabei gilt $P(X=-\infty )=\lim _{x\to -\infty }H_{X}(x)$ und $P(X=\infty )=1-\lim _{x\to \infty }H_{X}(x)$.
• Die Klasse der erweiterten Zufallsvariablen ist abgeschlossen bezüglich der punktweisen Konvergenz. Es gilt folgender Satz: Es sei $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge erweiterter Zufallsvariablen auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum mit der Ergebnismenge $\Omega$ und $X(\omega )=\lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )$ für alle $\omega \in \Omega$, dann ist $X$ ebenfalls eine erweiterte Zufallsvariable.

Uneinheitliche Terminologie

Die Begriffe Zufallsvariable, reelle Zufallsvariable und numerische Zufallsvariable werden uneinheitlich verwendet. Z. B. verwendet Klaus Schmidt den Begriff 'Zufallsvariable' für eine erweiterte oder numerische Zufallsvariable mit Werten in ${\bar {\mathbb {R} }}$ im Unterschied zu einer 'reellen Zufallsvariablen' mit Werten in $\mathbb {R}$.

Anwendungen

Unendliche Lebensdauer mit positiver Wahrscheinlichkeit

Bei der Überlebenszeitanalyse modelliert eine nichtnegative Zufallsvariable $X$ die zufällige Lebensdauer. Dabei ist $P(X>x)$ die so genannte Überlebensfunktion. Bei biometrischen Anwendungen ist eine übliche Annahme

$\lim _{x\to \infty }P(X>x)=0$,

bzw. dazu äquivalent

$\lim _{x\to \infty }P(X\leq x)=1$.

Diese Annahme ist plausibel, da sie ein – mit positiver Wahrscheinlichkeit – unendlich langes Leben ausschließt. Bei physikalischen Modellen ergibt sich eine andere Situation. Wenn man das Konzept der Überlebenszeitanalyse zum Beispiel auf eine Mischung stabiler und instabiler Kohlenstoff-Isotope anwendet, so ist

$\lim _{x\to \infty }P(X>x)>0$

und somit auch

$\lim _{x\to \infty }P(X\leq x)<1,$

da die instabilen Isotope zerfallen und die stabilen Isotope dauerhaft überleben. Ein Modell für Überlebenszeiten kann in diesem Fall auf einer erweiterten Zufallsvariable mit der Eigenschaft $P(X=\infty )>0$ basieren.

Limes von Folgen reeller Zufallsvariablen

Eine erweiterte Zufallsvariable $X$ kann als Limes einer Folge reeller Zufallsvariablen $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ aufgefasst werden, die im üblichen wahrscheinlichkeitstheoretischen Sinn nicht konvergiert. Es sei $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge normalverteilter Zufallsvariablen mit Erwartungswert $0$ und Standardabweichung $n$. Eine Zufallsvariable $X_{n}$ hat dann die Verteilungsfunktion $F_{n}(x)=P(X_{n}\leq x)=\Phi (x/n)$, wobei $\Phi$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet. Die Folge $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert in den üblichen wahrscheinlichkeitstheoretischen Konvergenzkonzepten für reelle Zufallsvariablen nicht gegen eine reelle Zufallsvariable, da

$\lim _{n\to \infty }P(X_{n}>x)={\frac {1}{2}}\quad {\text{für alle (noch so großen) }}x\in \mathbb {R}$,

$\lim _{n\to \infty }P(X_{n}<x)={\frac {1}{2}}\quad {\text{für alle (noch so kleinen) }}x\in \mathbb {R}$

und

$\lim _{n\to \infty }P(|X_{n}|\leq x)=0\quad {\text{für alle (noch so großen) }}x\in (0,\infty )$.

Für wachsendes $n$ weicht die Wahrscheinlichkeitsmasse auf beiden Seiten ins Unendliche aus. Offenbar kann die erweiterte Zufallsvariable $X$ mit $P(X=-\infty )=P(X=\infty )=1/2$ als Limes der Folge $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ interpretiert werden, der allerdings außerhalb der Klasse der reellen Zufallsvariablen liegt. Dieser intuitive Konvergenzbegriff deckt sich mit maßtheoretischen Konvergenzbegriffen, wenn die reellen Zufallsvariablen als Teilmenge der erweiterten Zufallsvariablen aufgefasst werden und Subverteilungsfunktionen verwendet werden. Es gilt nämlich

$\lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }\Phi (x/n)={\frac {1}{2}}\quad {\text{für alle }}x\in \mathbb {R}$,

wobei $H(x)=1/2$ für alle $x\in \mathbb {R}$ die Subverteilungsfunktion der erweiterten Zufallsvariablen $X$ ist. Es handelt sich bei der Konvergenz der Folge $(F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $H$ um die vage Konvergenz von maßtheoretischen Verteilungsfunktionen, die für Subverteilungsfunktionen, da diese beschränkt sind, mit der schwachen Konvergenz von maßtheoretischen Verteilungsfunktionen zusammenfällt.