Plancksches Strahlungsgesetz

Im Zuge der Entwicklung der klassischen Physik, statistischen Physik und der Elektrodynamik versuchten die Physiker jener Zeit, das Abstrahlungsspektrum des schwarzen Körpers aus grundlegenden Gesetzen zu verstehen.

Einander widersprechende Ergebnisse (Wiensches Strahlungsgesetz, Rayleigh-Jeanssches Strahlungsgesetz) führten zu einer nicht zufriedenstellenden Situation.

Nach dem Kirchhoffschen Strahlungsgesetz sind Strahlungs-Absorption und Emission proportional. Ein schwarzer_Körper, der wärmer als der absolute Nullpunkt (-273,15 °C = 0 Kelvin) ist, gibt elektromagnetische Strahlung ab.

Das Plancksche Strahlungsgesetz

Das Spektrum der Strahlung des schwarzen Körpers wurde erstmals von Max Planck korrekt beschrieben. Das nach ihm benannte "Plancksche Strahlungsgesetz" für einen schwarzen Körper der absoluten Temperatur T lautet in der Frequenzdarstellung

$I(\nu )\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} \Omega ={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}-1}}\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} \Omega$

wobei I ($\nu$) die Energie ist, die im Frequenzbereich $\nu$ und $\nu +d\nu$ pro Oberflächen- und Zeiteinheit senkrecht zur Oberfläche in einen Raumwinkel pro Flächeneinheit abgestrahlt wird (W m^-2 Hz^-1 sr^-1). Weiter sind h das Plancksche Wirkungsquantum, c die Lichtgeschwindigkeit und k die Boltzmannkonstante. In andere Strahlrichtungen als senkrecht zur Oberfläche ist die Strahlungsdichte geringer (Lambert-Strahler), so daß man die gesamte abgestrahlte Energie erhält, wenn man die Gleichung mit $\pi$ multipliziert, obwohl der Raumwinkel gleich $2\pi$ ist. Das ist die Halbkugel auf der Oberfläche in die die Strahlung emittiert wird.

Betrachtet man die Strahlungsdichte in einem Hohlraum, so kommt zusätzlich ein weiterer Faktor 4/c hinzu, als mittlere Laufzeit zwischen Emission und Absorption.

In der Wellenlängendarstellung mit λ = c/ν hat die Gleichung die Gestalt

$I(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \,\mathrm {d} \Omega ={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {hc}{\lambda kT}}\right)}-1}}\mathrm {d} \lambda \,\mathrm {d} \Omega \ .$

Diese Entdeckung Plancks im Jahre 1900 gilt gleichzeitig als Geburtsstunde des Quantenmechanik, da er zur Erklärung der empirisch gefundenen Formel annahm, dass Licht nicht kontinuierlich, sondern nur diskret in Quanten (heute spricht man von Photonen) aufgenommen und abgegeben wird.

Zur Geschichte der Entdeckung der Strahlungsgesetze: [|http://www.ing-buero-ebel.de/strahlung/index.htm]

Folgerungen

Die Folgerungen des Planckschen Strahlungsgesetzes bestätigten das früher gefundene Wiensche Verschiebungsgesetz, welches das Emissionsmaximum des schwarzen Körpers bestimmt, das ebenfalls früher gefundene Stefan-Boltzmann-Gesetz, welches die gesamte abgestrahlte Energie eines schwarzen Körpers angibt und das Rayleigh-Jeansche Strahlungsgesetz, welches die Strahlungsabhängigkeit für niedrige Wellenlängen beschreibt.

Mit zunehmender Temperatur T verschiebt sich das Maxium der Strahlungsenergie zu kürzeren Wellenlängen λ, das Licht wird blauer:

Glutfarben
  400 °C Grauglut, nur im Dunkeln wahrnehmbar
  525 °C Beginnende Rotglut
  700 °C Dunkle Rotglut
  800 °C Helle Rotglut
1.100 °C Gelbglut
1.300 °C beginnende Weißglut
1.500 °C volle, blendende Weißglut

Wilhelm Wien (1864 - 1928) formulierte 1893 den Zusammenhang, das so genannte Wiensches Verschiebungsgesetz:

$T\cdot \lambda _{\mathrm {max} }=\mathrm {konstant}$

wobei der konstante Wert 2,989·10^-3 mK beträgt.

Weiterhin gilt:

$\lambda \cdot \nu =c_{0}$

Für große Temperaturen $T$ ist der Exponent der Exponentialfunktion in der Strahlungsformel klein, der Ausdruck $\exp(a)$ kann für $a<\!<1$ genähert werden durch ($1+a$). Eingesetzt in die Formel ergibt sich eine Temperaturabhängigkeit proportional ${\frac {1}{\lambda ^{4}}}$, das Rayleigh-Jeansche Strahlungsgesetz.

Intensitätsverteilung der Schwarzkörperstrahlung

Plancksche Strahlungsformel für verschiedene Temperaturen

Bei 500 nm ist das sichtbare Spektrum eingezeichnet. Ab 700 °C zeigen Körper ein rotes Glimmen (Kurvenverlauf in der Abbildung nicht zu erkennen), mit steigender Temperatur verschiebt sich das Maximum in den blauen Bereich.

Dank des scharfen Abfalls bei kurzen Wellenlängen strahlen Glühlampen keine UV-Strahlung aus, dank der Filterwirkung von Glas gilt dies in hohem Maß auch für Halogen-Glühlampen. Die harte UV-Strahlung, die wir bei der Sonne mit einer Strahlungstemperatur von ca. 5500 °C erwarten müssten, filtert unsere Atmosphäre.