9g-9-Theorem

Das $9g-9$-Theorem ist ein Lehrsatz der Mathematik zum Teichmüller-Raum; einem Raum von Äquivalenzklassen kompakter Riemannscher Flächen. Es besagt, dass auf einer (geschlossenen, orientierbaren) Fläche vom Geschlecht $g$ eine Menge von $9g-9$ geschlossenen Kurven existiert, durch deren Längen jede hyperbolische Metrik auf der Fläche eindeutig festgelegt wird.

Der Satz liefert also eine Einbettung des Teichmüller-Raums in den $\mathbb {R} ^{9g-9}$, die allerdings nur injektiv und nicht surjektiv ist. Ein (bijektiver) Diffeomorphismus des Teichmüller-Raums mit $\mathbb {R} ^{3g-3}\times \mathbb {R} _{+}^{3g-3}$ wird stattdessen durch die Fenchel-Nielsen-Koordinaten realisiert, welche einer ausgewählten Menge von $3g-3$ geschlossenen Kurven die Länge und den Twist-Parameter der entsprechenden geodätischen Linien (Geodäten) zuordnen.

Der Satz verallgemeinert sich auf (orientierbaren) Flächen vom Geschlecht $g$ mit Spitzen, für welche die Längen von $3(3g-3+n)$ geschlossenen Geodäten benötigt werden. Hamenstädt hat gezeigt, dass die hyperbolische Metrik auf geschlossenen Flächen sogar mit nur $6g-5$ geschlossenen Geodäten festgelegt werden kann, während $6g-6$ Geodäten dafür nicht ausreichen. Für Flächen mit Spitzen benötigt man $6g-5+2n$ Geodäten.

Literatur

• Benson Farb, Dan Margalit: A primer on mapping class groups. (= Princeton Mathematical Series. 49). Princeton University Press, Princeton, NJ 2012, ISBN 978-0-691-14794-9. (online archiviert via archive.org; pdf)
• Ursula Hamenstädt: Length functions and parametrization of Teichmüller space for surfaces with cusps. Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 28, 75–88 (2003). (online; pdf)