Dynamisches System

Unter einem dynamischen System versteht man mathematische Modelle für zeitabhängige Prozesse (so genannter Zustände). Der Begriff des dynamischen Systems in heutiger Form geht auf den Mathematiker George David Birkhoff zurück. Dynamische Systeme finden im Alltag reichlich Anwendung und erlauben Einblicke nicht nur in vielen Bereichen der Mathematik, wie beispielsweise in die Zahlentheorie oder in die Stochastik, sondern auch in der Physik oder Biologie. So betrachtet man Bewegungsabläufe eines Pendels oder die zeitliche Veränderung von Populationszahlen zweier konkurrierender Spezies im Räuber-Beute-Modell.

Man unterscheidet zwischen kontinuierlicher oder diskreter Zeitentwicklung. Bei einem diskreten System interessiert man sich für die Zustandsänderungen bei einem Zeitsprung. Bei einem kontinuierlichen dynamischen System wird für jede beliebige Zeitspanne die Zustandsänderung beschrieben. Wichtigste Beispiele für kontinuierliche dynamische Systeme sind autonome gewöhnliche Differenzialgleichungen.

Ein dynamisches System ist ein geordnetes Tripel $(X,\Phi ,\mathbb {T} )$, wobei $\mathbb {T}$ eine Zeitachse und die nichtleere Menge $X$ einen metrischen Raum (auch Zustandsraum oder Phasenraum) bezeichnet. Das dynamische System $\Phi$, oft auch (Phasen-)Fluss genannt, ist eine stetige Abbildung $\Phi :X\times \mathbb {T} \rightarrow X$ mit folgenden Eigenschaften:

(1) $\Phi (x,0)=x$ für alle $x\in X$

(2) $\Phi (\Phi (x,t),s)=\Phi (x,t+s)$ für alle $x\in X$ und $s,t\in \mathbb {T}$.

Unter (1) versteht man die Identitätseigenschaft, d.h. ein Zustand verändert sich nicht nach 0 Zeiteinheiten. (2) gibt die Halbgruppeneigenschaft wider. Man gelangt zunächst in s Zeiteinheiten von x nach $\Phi (x,s)$ und anschließend in t Zeiteinheiten von $\Phi (x,s)$ nach $\Phi (x,s+t)$. Alternativ zu (2) schreibt man auch $\Phi _{t+s}=\Phi _{t}\circ \Phi _{s}$.

In der Theorie dynamischer Systeme interessiert man sich besonders bei gegebenem x für das Verhalten von $\Phi (x,t)$ für $t\rightarrow \pm \infty$. Hierbei sind Grenzmengen von großer Bedeutung. Die wichtigsten Grenzmengen sind Fixpunkte und periodische Orbits. Gerade in nichtlinearen Systemen trifft man aber auch komplexe nichtperiodische Grenzmengen an. Diese werden in der Chaostheorie ausführlich untersucht.

Ein besonderer Zweig der Theorie der dynamischen Systeme ist die symbolische Dynamik. Hier untersucht man zeitdiskrete Systeme deren Zustände durch Symbolsequenzen eines endlichen Alphabets beschrieben werden.