Dreieck

Dieser Artikel behandelt den geometrischen Begriff Dreieck. Für weitere Bedeutungen siehe Dreieck (Begriffsklärung).

Ein Dreieck ist ein Polygon und eine geometrische Figur.

Das beliebige Dreieck

Definition und Eigenschaften eines beliebigen Dreiecks

Ein Dreieck wird von drei Geraden, die nicht parallel zueinander liegen, eingeschlossen. Es ist durch seine drei Eckpunkte, die gleichzeitig die Schnittpunkte der drei nichtparallelen Geraden sind, definiert. Es wird durch drei die Eckpunkte geradlinig verbindende Seiten 'aufgespannt'. Daneben ist der von den zwei an einem Eckpunkt zusammentreffenden Seiten gebildete Winkel eine wichtige Größe zur Charakterisierung des Dreiecks.

In der Geometrie werden die Eckpunkte des Dreiecks in der Regel mit "A", "B" und "C" bezeichnet. Die Seite, die einer Ecke gegenüberliegt, wird entsprechend mit "a", "b" und "c" bezeichnet. Damit liegt dann die Seite "a" dem Eckpunkt "A" gegenüber, verbindet also die Punkte "B" und "C". Die Winkel_(Geometrie) werden "α", "β" und "γ" genannt; "α" ist der Winkel am Eckpunkt "A", etc.

Die Summe der Winkel in einem planaren Dreieck beträgt immer 180°.
Die Summe zweier Seiten eines Dreieck ist immer größer als die dritte Seite.

Die intuitiv einsichtigen Eigenschaften des Dreiecks sind die des Dreiecks der ebenen Euklidischen Geometrie.

Berechnung eines beliebigen Dreiecks

Wenn man von einem beiliebigen Dreieck drei Angaben (Seiten beziehungsweise Winkel: SSS, SSW, SWS, SWW, WSW) besitzt, kann man alle fehlenden Angaben des Dreieck berechnen. Eine Ausnahme stellt der Fall da, wenn die drei Angaben nur aus den Winkeln α, β und γ besitzt (WWW), aber keine Angabe über eine Seite. In diesem Fall läßt sich über das Dreieck keine weitere Aussage treffen.

Der Kosinussatz ist eine verallgemeinerte Form des Satz des Pythagoras, mit dem sich die Seiten eines beliebigen Dreiecks berechnen lassen:

Seite	Formel
a	$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc*\cos \alpha$
b	$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac*\cos \beta$
c	$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab*\cos \gamma$

Da für einen Winkel γ = 90° (auch ${\frac {\pi }{2}}$ ) der Cosinus γ = 0 ist, gilt für ein rechtwinkliges Dreieck die Formel $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Umfang:	$u=8r\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}*\cos {\frac {\gamma }{2}}$
Inkreisradius:	$\rho =4r\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}*\sin {\frac {\gamma }{2}}$
Umkreisradius:	$r={\frac {a}{2\sin \ \alpha }}={\frac {b}{2\sin \ \beta }}={\frac {c}{2*\sin \ \gamma }}$
Höhenformeln:	$h_{a}=c\sin \ \beta =b\sin \ \gamma$
	$h_{b}=a\sin \ \gamma =c\sin \ \alpha$
	$h_{c}=b\sin \ \alpha =a\sin \ \beta$
Flächeninhalt:	$A={\frac {1}{2}}ah_{a}={\frac {1}{2}}bh_{b}={\frac {1}{2}}ch_{c}$

Dreiecksarten

Eine Übersicht über die unterschiedlichen Arten der Dreiecke

Dreiecksarten	unregelmäßig Kein Winkel und keine Seite sind gleichgroß.	gleichschenklig Zwei Seiten und zwei Winkel sind gleichgroß	gleichseitig Alle Winkel und Seiten sind gleichgroß.
spitzwinklig Alle Winkel sind spitze Winkel.			Gleichseitiges Dreieck
rechtwinklig Ein Winkel ist ein rechter Winkel.			in der Ebene unmöglich
stumpfwinklig Ein Winkel ist ein stumpfer Winkel.			in der Ebene unmöglich

Das gleichseitige Dreieck

Eigenschaften

Gleichseitiges Dreieck

Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang und alle drei Innenwinkel gleich groß. Aus diesem Grund gehört das gleichseitige Dreieck auch zu den regelmäßigen Polygonen.
Jeder Winkel in einem gleichseitigen Dreieck beträgt 60°.
Das gleichseitige Dreieck zählt zu den spitzwinkligen Dreiecken, weil alle drei Winkel kleiner als 90° sind.
Außerdem ist das gleichseitige Dreieck auch ein spitzwinkliges, gleichschenkliges Dreieck.
Alle gleichseitigen Dreiecke sind zueinander ähnlich.
Schwerpunkt, Umkreismittelpunkt, Höhenschnittpunkt und Inkreismittelpunkt fallen bei einem gleichseitigen Dreieck zusammen.

Die Seite eines gleichseitigen Dreiecks wird mit a und der Winkel wird mit α bezeichnet.

	Formeln ohne Winkel α	Formeln mit Winkel α
Fläche A	$A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$	$A={\frac {1}{2}}a^{2}\sin \ \alpha$
Höhe h	$h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a$	$h=a*\sin \ \alpha$
Umkreisradius r	$r={\frac {\sqrt {3}}{3}}a={\frac {1}{\sqrt {3}}}a$	$r={\frac {a}{2*\sin \ \alpha }}$
Inkreisradius ρ	$\rho ={\frac {\sqrt {3}}{6}}a$	$\rho =4r*\left(\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)^{3}$
Umfang u	$u=3*a$	$u=8r*\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)^{3}$

Das gleichschenklige Dreieck

Eigenschaften

Links ein gleichschenkliges, rechts ein gleichseitiges Dreieck

Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind wenigstens zwei Seiten gleich lang, und wenigstens zwei Winkel identisch.
Die beiden gleichen Seiten bezeichnet man als Schenkel.
Die dritte Seite bezeichnet man als Basis
Der Punkt, an dem beide Schenkel zusammentreffen nennt man Spitze.
In einem gleichschlenkligen Dreieck sind Seitenhalbierende, die Winkelhalbierende die Höhe, jeweils von der Spitze ausgehend, und die Mittelsenkrechte identisch.
Das gleichseitige Dreieck läßt sich als eine spezielle Form des gleichschenligen Dreiecks sehen, bei der jede Seite gleichzeitig Schenkel und Basis sind, und jeder Punkt des Dreiecks als Spitze bezeichnet werden kann.

Das rechtwinklige Dreieck

Eigenschaften

Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen 90°-Winkel, auch rechter Winkel genannt.
Die längste Seite des Dreiecks liegt dem rechten Winkel gegenüber und wird Hypotenuse genannt.
Die beiden anderen Seiten heißen Katheten.

Rechtwinkliges Dreieck

Satz des Pythagoras	$c^{2}=a^{2}+b^{2}$
Kathetensatz von Euklid	$a^{2}=c*p$
Kathetensatz von Euklid	$b^{2}=c*q$
Höhensatz von Euklid	$h^{2}=p*q$

Bei Kenntnis drei der Angaben (a, b, c, p, q und h) lassen sich die fehlenden 3 anderen Werte aus den, in der Tabelle aufgeführten Formeln berechnen.

Die Längen der drei Seiten werden durch den Satz des Pythagoras in Beziehung gebracht: Das Quadrat der Länge der Hypotenuse (in der Grafik als c bezeichnet) gleicht der Summe der Quadrate der Längen der Katheten (a und b).

In Bezug auf die spitzen Winkel des Dreiecks spricht man von der Ankathete des Winkels als die dem Winkel anliegende Kathete und von der Gegenkathete als die dem Winkel gegenüberliegende Kathete.

Durch das Verhältnis zwischen Katheten und Hypotenuse lässt sich auch ein Winkel im rechtwinkligen Dreieck eindeutig bestimmen.

Ein rechtwinkliges Dreieck mit den rechten Winkel im Punkt C

Der Sinus des Winkels α ist dabei als das Verhältnis zwischen Gegenkathete, hier a, und Hypotenuse c definiert. Bezeichnungsweise: sin α = a : c.

Der Kosinus des Winkels α ist das Verhältnis zwischen Ankathete, hier b, und Hypotenuse. Bezeichnungsweise: cos α = b : c.

Der Tangens ist durch das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete gegeben. Bezeichnung: tan α = a : b.

Der Kotangens ist das Verhältnis zwischen Ankathete und Gegenkathete, und ist damit der Kehrwert des Tangens. Bezeichnung: cot α = b : a = 1 : tan α.

Der Sekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur Ankathete, also der Kehrwert des Kosinus. Bezeichnung: sec α = c : b = 1 : cos α.

Der Kosekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur Gegenkathete, d. h. der Kehrwert des Sinus. Bezeichnung: csc α = c : a = 1 : sin α.

Diese sechs Funktionen werden Winkelfunktionen oder trigonometrische Funktionen genannt; im schulischen Kanon werden diese jedoch meistens auf die ersten drei reduziert (diese sind auch die geläufigsten, die anderen sind seltener von Bedeutung).

Dreiecke der Nichteuklidschen Geometrie

Sphärische Dreiecke

Dreiecke (man nennt sie sphärisch) auf der Kugel, wobei die Seiten Teile eines Großkreises sind - mit einer Winkelsumme größer als 180° Sphärisches Dreieck auf einer Kugel

Die Kongruenzsätze machen Aussagen über die Dreiecksgrößen (Seitenlänge, Winkel), die notwendig sind, um ein Dreieck eindeutig zu bestimmen.

In der Trigonometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, spielen Dreiecke eine bedeutende Rolle. Siehe dazu insbesondere Dreieckstrigonometrie.

Oft auftretende Dreiecksgrößen

Interessant sind auch die Schnittpunkte dieser Linien bzw. die Mittelpunkte der Kreise, die als ausgezeichnete Punkte des Dreiecks bekannt sind.

Sätze rund um das Dreieck

Kongruenzsätze
Thaleskreis
Ausgezeichnete Punkte im Dreieck
Südpolsatz
Sinussatz
Satz von Pythagoras, Kosinussatz
Satz von Menelaos
Satz von Ceva
Satz von Stewart
Satz des Heron (Fläche aus drei Seiten berechnen)
Eulersche Gerade
Feuerbachkreis
Simsonsche Gerade
Symmedianen und Lemoinepunkt
Trigonometrie

Weblinks