Exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum

Das Wachstum oder die Abnahme (auch Zerfall oder negatives Wachstum) eines Bestandes wird als exponentiell bezeichnet, wenn sich der Wachstumsvorgang durch eine Exponentialfunktion beschreiben lässt. Dies ist genau dann der Fall, wenn sich der Bestand pro Zeiteinheit nicht um einen festen Wert ändert (lineares Wachstum), sondern um einen festen Prozentsatz. Der Zuwachs pro Zeiteinheit ist also proportional zum Bestand, der relative Zuwachs, die so genannte Wachstumsrate, ist konstant.

Beispiele für exponentielle Vorgänge sind das Anwachsen von Kapital oder Schulden durch Zins und Zinseszins sowie der radioaktive Zerfall mit einer Halbwertszeit.

Exponentielle Vorgänge lassen sich mathematisch durch die Formeln

$N_{t}=N_{0}\cdot e^{\lambda t}$ für exponentielles Wachstum bzw.

$N_{t}=N_{0}\cdot e^{-\lambda t}$ für exponentielle Abnahme beschreiben.

Dabei ist $N_{0}$ der Wert zum Ausgangszeitpunkt ($t=0$), $N_{t}$ der Wert zum Zeitpunkt $t$ und $e$ die Eulersche Zahl. Charakteristisch für einen exponentiellen Vorgang ist der Exponent $\lambda >0$, der die Wachstumskonstante (Wachstum) beziehungsweise Zerfallskonstante (Abnahme) angibt. Wenn für exponentielle Vorgänge einheitlich die Formel für exponentielles Wachstum verwendet wird, so ist $\lambda$ bei einer Abnahme negativ; ansonsten sind nur positive Werte möglich. Die Verdoppelungszeit $T$ (Wachstum) beziehungsweise Halbwertszeit (Abnahme) hängt dann folgendermaßen direkt mit der Größe $\lambda$ zusammen:

$\lambda \cdot T=\log 2$

Dabei ist $\log$ der natürliche Logarithmus.

Weitere Eigenschaften

Funktionswerte, die im Abstand fester Zeitschritte $\Delta t$ aufeinander folgen, bilden eine geometrische Folge mit dem Faktor $q=e^{\lambda \Delta t}$. Geometrische Folgen stellen eine Möglichkeit dar, exponentielle Vorgänge in elementarer Weise zu beschreiben.

Exponentielles Verhalten ist in der Natur ein oft beobachteter Vorgang. Der mathematische Hintergrund dafür ist, dass die obige Formel die gewöhnliche Differentialgeichung

$y'(t)=\lambda y(t)$

erfüllt. Diese Gleichung besagt, dass die Änderung eines Wertes zu jeder Zeit proportional zu diesem Wert ist.

Schrittweises exponentielles Wachstum

Neben kontinuierlichen exponentiellen Vorgänge werden manchmal auch schrittweise verwendet. Bei der Berechnung des Zinseszins ist es beispielsweise bis heute üblich, schrittweise vorzugehen, also den Ertrag nicht sofort zu verzinsen, sondern erst ab einem bestimmten Termin (z.B. dem Jahresende). Die Formel hierfür ist dann

$N_{t}=N_{0}\cdot (1+p)^{t}$,

wobei $p$ der Zinssatz bzw. die schrittweise Wachstumsrate ist.

Für ganze Vielfache der Schrittweite lässt sich ein äquivalenter kontinuierlicher exponentieller Vorgang angeben. Für diesen gilt

$\lambda =\log(1+p)$.

5 % jährliche Zinsen entsprichen damit beispielsweise einer kontinuierlichen Wachstumsrate von etwa 4,88 Prozent pro Jahr (siehe dazu auch Zinssatz).

Beispiele für exponentielle Vorgänge

Zunahme der Dicke von Folien beim Falten

5fach gefaltete Mylarfolie.

Bei jedem Falten verdoppelt sich die Dicke von Papier oder Folie. Auf diese Weise lassen sich dünne Folien mit einer einfachen Schieblehre ausmessen. Die Mylarfolie auf dem Bild besteht nach 5fachem Falten aus $2^{5}=32$ Lagen Folie, die gemeinsam eine Dicke von 450 µm haben. Eine Folie ist also ca. 15 µm stark. Nach 10fachem Falten wäre die Lage bereits 14 mm dick, nach weiteren 10 Faltungen mehr als 6 m. Da sich gleichzeitig auch die Stapelfläche exponentiell verringert, lässt sich einfaches Papier kaum mehr als zehn Mal zusammen schlagen.

Weitere Beispiele

• Radioaktiver Zerfall
• Zinseszins
• Bakterienkulturen wachsen in ihrem Anfangsstadium (unter geeigneten Bedingungen) exponentiell.
• Die Gesamtmenge an (Fach-)Literatur wächst exponentiell - Die Verdoppelungsrate beträgt etwa 20 Jahre, das entspricht einer Zunahme von etwa 3,5 % pro Jahr.
• Auch die Menge der Artikel in Wikipedia Deutschland wuchs anfangs exponentiell. Siehe: Wikipedia wächst
• Moore's Law
• Bierschaum zerfällt exponentiell. Es ist ein beliebtes Experiment in Schulen, um die Zerfallsrate an einem Beispiel aus dem Alltag darzustellen.
• in der Informetrie und Bibliometrie, gibt es ebenfalls exponentielle Modelle für das Wachstum des Wissens und der Aufzeichnungen darüber.

Verwandte Themen

• Logistische Funktion und logistische Gleichung sind Verallgemeinerungen des exponentiellen Wachstums.