Diskussion:Vorhersagbarer Prozess

Stetige Zeit?

Vorhersagbare Prozesse kann man nicht nur für diskrete Zeit definieren, sondern auch für stetige Zeit. Das fehlt hier. Der Einleitungssatz "Ein vorhersagbarer Prozess ... ist ein spezieller stochastischer Prozess in diskreter Zeit" ist sogar irreführend, da er suggeriert, die diskrete Zeit sei Bestandteil des Begriffs. Das wird durch den Absatz "Bemerkung" nicht geheilt. --FerdiBf (Diskussion) 08:22, 23. Aug. 2015 (CEST)

Ich habe die stetige Zeit nachgereicht, ich hoffe das reicht als Heilung. Meiner Meinung nach ist das erledigt. LG --NikelsenH (Diskussion) 10:41, 7. Sep. 2015 (CEST)

Ja, das können wir erst einmal so stehen lassen. Vielen Dank dafür!--FerdiBf (Diskussion) 12:15, 7. Sep. 2015 (CEST)

Interpretation des diskreten Falls

Ich habe das Gefühl, dass die Interpretation so nicht richtig ist und hätte gerne eine Quelle für die behauptete Eigenschaft $\operatorname {E} (X_{n}|{\mathcal {F}}_{n-1})=X_{n}$. Diese Eigenschaft würde z. B. bedeuten, dass für einen Prozess $(X_{0},X_{1},X_{2})$ die Eigenschaft

$\operatorname {E} (X_{2}|(X_{0},X_{1}))=X_{2}$

– also eine spezielle Unkorreliertheitseigenschaft – gilt. Ist das wirklich gemeint?

Auch ist die Formulierung "lässt sich schon alles über die Ausgänge im n-ten Schritt sagen" verbesserungswürdig. Der Laie könnte hier vermuten, dass Ereignisse mit Sicherheit vorausgesagt werden können, wenn die Prozessvergangenheit bekannt ist. Das ist wohl nicht gemeint. Vielmehr geht es um die technischen Messbarkeitsvoraussetzung dafür, dass sich eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung und ein bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung angeben lässt. Oder? --Sigma^2 (Diskussion) 12:05, 29. Apr. 2022 (CEST)

1) Wenn $X_{n}$ vorhersebar ist, dann ist $X_{n}\;{\mathcal {F}}_{n-1}$-messbar. Das bedeutet $\operatorname {E} (X_{n}|{\mathcal {F}}_{n-1})=X_{n}$. Was du mit "Unkorreliertheitseigenschaft" meinst, verstehe ich nicht. Meinst du vielleicht wenn $X_{2}$ unabhängig von $(X_{0},X_{1})$ ist? Dann gilt $\operatorname {E} (X_{2}|X_{0},X_{1})=\operatorname {E} (X_{2})$. 2) Doch das meint es, du kennst $X_{n}$ wenn du ${\mathcal {F}}_{n-1}$ kennst, d.h. es existiert ein $f$ so dass $X_{n}=f(X_{1},\dots ,X_{n-1})$. --Tensorproduct (Diskussion) 11:04, 1. Mai 2022 (CEST)

(a) Mit der Unkorreliertheitseigenschaft hatte ich mich geirrt, diese wäre in der Tat $\operatorname {E} (X_{2}|X_{0},X_{1})=\operatorname {E} (X_{2})$ und folgt z.B. bei stochastischer Unabhängigkeit.

(b) Nach wie vor bitte ich um eine Quelle (!) für die Behauptung "$X_{n}$ ist ${\mathcal {F}}_{n-1}$-messbar bedeutet $\operatorname {E} (X_{n}|{\mathcal {F}}_{n-1})=X_{n}$".

(c) Es geht wohl um die Unschärfe der Terminologie und die Verwendung von "ich kenne $X_{n}$". Wenn ich die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von $(X_{1},\dots ,X_{n-1})$ kenne, dann kenne ich bei einem vorhersagbaren Prozess auch die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von $(X_{1},\dots ,X_{n})$ und damit (als Randverteilung) die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X_{n}$ und (im regulären Fall) die bedingte Verteilung von $X_{n}$ gegeben $(X_{1},\dots ,X_{n-1})$. Das heißt aber nicht, dass ich aus einer Realisation von $(X_{1},\dots ,X_{n-1})$ die Realisation von $X_{n}$ berechnen kann. Das wäre eine deterministischer Prozess, bei dem man - mit Wahrscheinlichkeit Eins - von $(X_{1},\dots ,X_{n-1})$ auf $X_{n}$ schließen könnte, in diesem Fall gäbe es eine Funktion $f$, so dass (mit Wahrscheinlichkeit Eins) $X_{n}=f(X_{1},\dots ,X_{n-1})$ gilt. Ich sehe nicht, dass dies aus der Messbarkeitsannahme der Vorhersagbarkeit folgt.

(d) Die Terminologie "ich kenne ein Zufallsvariable $X$" sollte völlig vermieden werden. "Ich kenne die Wahrscheinlicheitsverteilung von $X$", "ich kenne eine Realisation $x$ von $X$" oder "ich weiß, dass das Ereignis $A=\{X\in B\}$ für eine spezifizierte Borelmenge $B\subset \mathbb {R}$ eingetreten ist" sind mögliche Interpretationen.

--Sigma^2 (Diskussion) 12:15, 1. Mai 2022 (CEST)

Wenn du $X_{n}\;{\mathcal {F}}_{n-1}$-messbar $\implies \operatorname {E} (X_{n}|{\mathcal {F}}_{n-1})=X_{n}$ nicht siehst, dann solltest du die Begriffe "Messbarkeit" und "bedingter Erwartungswert" nochmals nachlesen. Du kannst selber nach einer Quelle suchen. Wenn $X_{n}^{-1}(z)\in {\mathcal {F}}_{n-1}$, dann weist du $X_{n}(\omega )=z$. Beachte auch, dass in der Praxis ${\mathcal {F}}_{n-1}$ viel grösser ist, als $X_{1},\dots ,X_{n-1}$. Nein, nicht jeder vorhersagbare Prozess ist deterministisch, der Punkt ist, du kennst $X_{n}$ aber nicht $X_{n+1}$. --Tensorproduct (Diskussion) 13:37, 1. Mai 2022 (CEST)